URGENTE

In figura allegata la soluzione per r=4.

ΑΒ = 2·r

CD = 2·r·COS(α)

ΒC = ΑD = 2·r·SIN(α/2)  (Th della corda)

perimetro=

=2·r + 2·r·COS(α) + 2·(2·r·SIN(α/2))=

=4·r·SIN(α/2) + 2·r·COS(α) + 2·r

Quindi riporto il problema al calcolo del massimo della funzione:

y = 2·SIN(α/2) + COS(α) + 1

che ha derivate:

y'= COS(α/2) - SIN(α)

y''= - SIN(α/2)/2 - COS(α)

con 0 < α < pi

C.N. y' =0

COS(α/2) - SIN(α) = 0

posto α/2 = t si verifica per 

COS(t) = SIN(2·t)----> COS(t) = 2·SIN(t)·COS(t)

per COS(t) ≠ 0 deve risultare: SIN(t) = 1/2

t = 5·pi/6 ∨ t = pi/6

ossia: α = 5·pi/3 ∨ α = pi/6

(vale la seconda data la limitazione precedentemente fatta)

Quindi il trapezio isoscele ha perimetro massimo se risulta un semiesagono regolare

Verifica:

y''(pi/3)= - SIN(pi/3/2)/2 - COS(pi/3) = - 3/4 < 0 

(quindi massimo)

perimetro=

=4·r·SIN(pi/3/2) + 2·r·COS(pi/3) + 2·r = 5·r

assumendo r = 1 , la sottostante tabella mostra come varia il perimetro ABCD al variare di Θ; i lati si calcolano con il teorema di F. Viete (aka teorema del coseno)

il massimo vale 3,00 (3 lati uguali di valore unitario) in corrispondenza di un angolo Θ pari a 60°, il che ne fa la metà di un esagono regolare inscritto di lato (raggio) unitario