Le dimostrazioni richieste discendono dalla classificazione delle forme normali standard delle coniche a centro (iperbole ed ellisse o circonferenza).
Dalla forma normale canonica di una qualsiasi conica se il complesso dei termini di grado due formano il quadrato di un binomio in (x, y) si identifica una parabola, altrimenti una conica a centro che, con eventuali traslazione e rotazione, si riduce a una delle sei forme
* (x/a)^2 ± (y/b)^2 = {- 1, 0, 1}
con i semiassi (a, b) positivi, classificate come segue.
1) (x/a)^2 - (y/b)^2 = 0: iperbole reale degenere sugli asintoti
2) (x/a)^2 + (y/b)^2 = 0: ellisse reale degenere sul centro
3) (x/a)^2 + (y/b)^2 = - 1: ellisse degenere su due rette complesse
4) (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1: ellisse RND (reale non degenere)
5) (x/a)^2 - (y/b)^2 = - 1: iperbole RND con fuochi sull'asse y
6) (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1: iperbole RND con fuochi sull'asse x
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Nelle iperboli l'asse focale è quello trasverso che interseca la curva sui vertici, le cui perpendicolari intersecano la curva in due punti all'esterno dei vertici, sono tangenti sui vertici, non hanno punti comuni fra i vertici.
L'asse trasverso si identifica azzerando una variabile per volta.
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Caso 5
* (x/a)^2 - (y/b)^2 = - 1
a) (0/a)^2 - (y/b)^2 = - 1 ≡ y = ± b
b) (x/a)^2 - (0/b)^2 = - 1 ≡ x = ± i*a (nessun valore reale)
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Caso 6
* (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
a) (0/a)^2 - (y/b)^2 = 1 ≡ y = ± i*b (nessun valore reale)
b) (x/a)^2 - (0/b)^2 = 1 ≡ x = ± a