[Risolto] Problemi con sistemi non lineari

731

{x^2 + y^2 = 41

{(x + 2)·(y + 2) = 42

é un sistema simmetrico che puoi riportare alla forma più nota:

{x^2 + y^2 = 41

{x+y=k ( da determinare k)

A tal fine:

{(x + y)^2 - 2·x·y = 41

{x·y + 2·x + 2·y = 38

Ricavo il termine xy:

x·y = 38 - 2·(x + y)

Quindi:

(x + y)^2 - 2·(38 - 2·(x + y)) = 41

pongo: x + y = t

t^2 - 2·(38 - 2·t) = 41

t^2 + 4·t - 117 = 0----> t = -13 ∨ t = 9

Quindi poi risolvi senza problemi:

{x^2 + y^2 = 41

{x + y = 9

hai: [x = 4 ∧ y = 5, x = 5 ∧ y = 4]

L'altro in maniera analoga.

just by heart

731

41 = 25+16

x = 5 ; y = 4 

(5+2)(4+2) = 7*6 = 42 

 

732

49-25 = 24

x = 7 ; y = 5

7*5+5^2 = 35+25 = 60 

 

Se hai presente che le variabili sono numeri naturali, vedi @Remanzini_Rinaldo
Se riesci a notare la struttura di sistema simmetrico, vedi @LucianoP
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Se però per te vale ancora quello che mi raccontasti
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/58552/
delle tue idee sul progredire degli apprendimenti allora immagino che le richieste di "sviscerare nel dettaglio" e di "sviluppare per esteso" non si riferiscano né a QUESTI PARTICOLARI due sistemi né in generale ai "sistemi non lineari" del titolo (intersecare ellisse e retta è un conto, una cubica con un logaritmo è un altro: tutt'e due sono sistemi non lineari!); immagino che equivalgano al caso generico di sistemi COME QUESTI: intersecare due coniche qualsiasi, ma senza strutture e/o proprietà particolari che restringano il problema facilitandolo.
Temo tuttavia che un metodo generale di soluzione simbolica non ci sia, salvo l'indicazione banale di rammentare che l'equazione risolvente del sistema ha grado pari al prodotto dei gradi delle equazioni componenti; quindi la risolvente dell'intersezione di due coniche è una di quarto grado con quattro radici di cui o zero o due o quattro sono reali.
La più generale equazione di grado due in due variabili (x, y) dipende da sei parametri
* (p*x + q*y)^2 + r*x*y + a*x + b*y + c = 0
e ti lascio immaginare come sia il risolvere un sistema fra due equazioni così.
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Per i due sistemi di questa domanda, intesi senza strutture e/o proprietà particolari (che l'occhio non allenato non vede) direi che si debba anzitutto portarsi a una qualche forma normale che consenta di vedere qualcosa anche al più principiante degli sguardi (qui già come sono si vede che in 732 è facile isolare x e così in 731 o x o y); poi isolare una variabile e formare la risolvente.
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731) (x^2 + y^2 = 41) & ((x + 2)*(y + 2) = 42) ≡
≡ (x^2 + ((38 - 2*x)/(x + 2))^2 = 41) & (y = (38 - 2*x)/(x + 2)) & (x != - 2)
da cui
* x^2 + ((38 - 2*x)/(x + 2))^2 - 41 = 0 ≡
≡ (x^4 + 4*x^3 - 33*x^2 - 316*x + 1280)/(x + 2)^2 = 0 ≡
≡ (x - 4)*(x - 5)*(x^2 + 13*x + 64) = 0
da qui in poi è tutto standard.
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732) (x^2 - y^2 = 24) & (x*y + y^2 = 60) ≡
≡ ((60/y - y)^2 - y^2 = 24) & (x = 60/y - y) & (y != 0)
da cui
* (60/y - y)^2 - y^2 - 24 = 0 ≡
≡ (3600 - 144*y^2)/y^2 = 0 ≡
≡ (y + 5)*(y - 5) = 0
da qui in poi è tutto standard.