[Risolto] TUTTI I METODI PER SCOMPORRE UN TRINOMIO (EQUAZIONE) DI SECONDO GRADO.

Ecco una lista completa di tutti i metodi possibili per scomporre un trinomio di secondo grado:

1. Fattorizzazione diretta:
   Questo metodo prevede la ricerca di due binomi che, moltiplicati tra loro, diano il trinomio iniziale.

2. Metodo del completamento del quadrato:
   Questo metodo coinvolge la trasformazione del trinomio in un quadrato perfetto.

3. Formula quadratica:
   Questo metodo utilizza la formula quadratica per trovare le radici del trinomio.

4. Scomposizione per differenza di quadrati:
   Questo metodo si applica quando il trinomio è una differenza di due quadrati.

5. Scomposizione per somma e differenza di due cubi:
   Questo metodo si applica quando il trinomio può essere scomposto come somma o differenza di due cubi.

6. Scomposizione per raggruppamento:
   Questo metodo prevede il raggruppamento dei termini del trinomio in coppie, in modo da poter effettuare una fattorizzazione.

7. Scomposizione per sottrazione di prodotti notevoli:
   Questo metodo si applica quando il trinomio può essere scomposto sottraendo due prodotti notevoli.

8. Metodo delle sostituzioni:
   Questo metodo coinvolge l'uso di sostituzioni appropriate per semplificare la scomposizione del trinomio.

9. Metodo delle frazioni parziali (per trinomi razionali):
   Questo metodo si applica a trinomi di secondo grado razionali, utilizzando le frazioni parziali per scomporli.

Questi sono i principali metodi utilizzati per scomporre un trinomio di secondo grado. La scelta del metodo più appropriato dipende dalle caratteristiche specifiche del trinomio che si sta scomponendo

Fra "tutti i modi possibili" per scomporre un trinomio di secondo grado rispetto a una variabile, detta x per convenzione, ce n'è solo uno che sia un "metodo"; perciò "indica esempi di tutti i metodi" significa "mostra UN ESEMPIO del metodo di Bramegupta" che quel genio pubblicò più di 1400 anni addietro.
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OGNI PASSAGGIO DEL METODO DI BRAMEGUPTA
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A) Per scomporre il generico trinomio quadratico il primo passaggio è l'estrazione dell'unico fattore di grado zero, lasciando da scomporre un trinomio quadratico monico
* a*x^2 + b*x + c = a*(x^2 + (b/a)*x + c/a) = a*(x - z)*(x - Z)
dove le costanti (z, Z) sono gli zeri del trinomio.
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B) Per scomporre il generico trinomio quadratico monico occorre e basta: completare il quadrato dei termini variabili; esprimere il termine noto come opposto di un quadrato; applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati" e, se occorre, semplificare.
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B1) x^2 - s*x = (x - s/2)^2 - (s/2)^2
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B2) x^2 - s*x + p = (x - s/2)^2 - (s/2)^2 + p
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B3) - (s/2)^2 + p = - (√(s^2 - 4*p)/2)^2
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B4) x^2 - s*x + p = (x - s/2)^2 - (s/2)^2 + p = (x - s/2)^2 - (√(s^2 - 4*p)/2)^2
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B5) (x - s/2)^2 - (√(s^2 - 4*p)/2)^2 =
= (x - s/2 + √(s^2 - 4*p)/2)*(x - s/2 - √(s^2 - 4*p)/2) =
= (x - (s - √(s^2 - 4*p))/2)*(x - (s + √(s^2 - 4*p))/2)
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C) Nel caso del generico trinomio quadratico non monico in cui
* s = - b/a
* p = c/a
si ha
* (- b/a - √((- b/a)^2 - 4*(c/a)))/2 = - (b + a*√((b^2 - 4*a*c)/a^2))/(2*a)
* (- b/a + √((- b/a)^2 - 4*(c/a)))/2 = - (b - a*√((b^2 - 4*a*c)/a^2))/(2*a)
da cui
* a*x^2 + b*x + c = a*(x^2 + (b/a)*x + c/a) =
= a*(x + (b + a*√((b^2 - 4*a*c)/a^2))/(2*a))*(x + (b - a*√((b^2 - 4*a*c)/a^2))/(2*a))
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CONTROPROVA nel paragrafo "Expanded form" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify+a*%28x%2B%28b%2Ba*%E2%88%9A%28%28b%5E2-4*a*c%29%2Fa%5E2%29%29%2F%282*a%29%29*%28x%2B%28b-a*%E2%88%9A%28%28b%5E2-4*a*c%29%2Fa%5E2%29%29%2F%282*a%29%29
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NB: questo metodo sembra macchinoso nel suo sviluppo tutto simbolico, ma coi valori numerici è semplice.
* 3*x^2 - x - 2 = 3*(x^2 - x/3 - 2/3) =
= 3*((x - 1/6)^2 - (1/6)^2 - 2/3) =
= 3*((x - 1/6)^2 - (5/6)^2) =
= 3*(x - 1/6 + 5/6)*(x - 1/6 - 5/6) =
= 3*(x + 2/3)*(x - 1)
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PROCEDURA EMPIRICA (≡ per tentativi)
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Questa procedura NON E' UN METODO in quanto non è applicabile a qualsiasi trinomio quadratico monico, ma solo a quelli il cui termine noto 'p' sia un valore razionale cioè esprimibile come rapporto fra un numeratore intero 'n' e un denominatore naturale 'd': p = n/d.
Ad esempio, nel trinomio
* x^2 - x/3 - 2/3
si ha
* n = - 2
* d = 3
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Il teorema degli zeri razionali dimostra che se un polinomio monico ha zeri razionali essi sono tutti e soli fra i rapporti fra un divisore intero di 'n' e un divisore naturale di 'd'.
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Ad esempio, nel trinomio
* x^2 - x/3 - 2/3
si ha
* divisori interi di - 2: {- 2, - 1, 1, 2}
* divisori naturali di 3: {1, 3}
* zeri razionali candidati: {- 2, - 1, - 2/3, - 1/3, 1/3, 2/3, 1, 2}
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Si valuta il polinomio
* p(x) = x^2 - x/3 - 2/3 = (x - 1/3)*x - 2/3
su ciascuno dei candidati e si individuano gli eventuali zeri.
Nel formato {x, p(x)} si ha
* {- 2, 4}, {- 1, 2/3}, {- 2/3, 0}, {- 1/3, - 4/9}, {1/3, - 2/3}, {2/3, - 4/9}, {1, 0}, {2, 8/3}
da cui la scomposizione
* p(x) = x^2 - x/3 - 2/3 = (x - z)*(x - Z) = (x + 2/3)*(x - 1)
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Se non hai ancora studiato le equazioni di secondo grado puoi usare la regola di Ruffini oppure il trinomio caratteristico. Cerchi due interi che hanno per somma b = - 1 e per prodotto a*c = 3*(2)= - 6.

Sono - 3 e 2 per cui scrivi

3x^2 - 3x+2x - 2 = 3x(x - 1)+2(x - 1) =

= (x - 1)(3x+2).