Trova la misura della corda staccata sulla retta di equazione $x+3 y=13$ dalla circonferenza tangente all'asse $x$ che ha come centro il punto di ascissa 3 appartenente alla retta di equazione $y=2 x-1$.
$$
[3 \sqrt{10}]
$$
Trova la misura della corda staccata sulla retta di equazione $x+3 y=13$ dalla circonferenza tangente all'asse $x$ che ha come centro il punto di ascissa 3 appartenente alla retta di equazione $y=2 x-1$.
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[3 \sqrt{10}]
$$
2
punti
Livello 0
yC = 2*3 - 1 = 5
e r = |yC| = 5
La circonferenza ha equazione
(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 5^2
x^2 + y^2 - 6x - 10y + 9 = 0
3y = (13 - x)
x^2 + (13 - x)^2/9 - 6x - 10 (13 - x)/3 + 9 = 0
9x^2 + 169 - 26x + x^2 - 54 x - 390 + 30x + 81 = 0
10x^2 - 50x - 140 = 0
x^2 - 5x - 14 = 0
La lunghezza della corda é
L = |x2 - x1|*sqrt(1 + m^2) = sqrt(D)/|A| * sqrt (1 + m^2) =
in cui m = -1/3
= sqrt [(25 + 56)*(1 + 1/9)] = sqrt (81/9 * (9 + 1)) = 3 rad 10
58339
punti
Livello 7
11730
punti
Livello 8
La retta y = 2*x - 1 ha, all'ascissa tre, il punto C(3, 5).
Ogni circonferenza di centro C tangente l'asse x ha raggio r = |yC|, quindi quella d'interesse è
* Γ ≡ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 5^2
La supposta secante
* s ≡ x + 3*y = 13 ≡ y = (13 - x)/3
posta a sistema con Γ dà
* (y = (13 - x)/3) & ((x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 5^2) ≡
≡ (y = (13 - x)/3) & ((x - 3)^2 + ((13 - x)/3 - 5)^2 - 25 = 0) ≡
≡ (y = (13 - x)/3) & (10*(x + 2)*(x - 7)/9 = 0) ≡
≡ P(- 2, 5) oppure Q(7, 2)
La misura richiesta è la distanza
* |PQ| = √((- 2 - 7)^2 + (5 - 2)^2) = 3*√10
che è proprio il risultato atteso.
57798
punti
Genius I