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Funzione razionale fratta avente asintoti verticali x=-6 ed x=1. Asintoto orizzontale y=1. Intersezione con asse x: x=-2 ed x=4

y = (x + 2)·(x - 4)/((x + 6)·(x - 1))

y = (x^2 - 2·x - 8)/(x^2 + 5·x - 6)

Facciamo l'ipotesi che si tratti di una semplice funzione razionale fratta, cioè rapporto di due polinomi.

$f(x) = \frac{P(x)}{Q{x}}$

• Stimiamo il denominatore Q(x)

Osserviamo che la funzione ha due asintoti verticali di equazione:

1. x = -6
2. x = 1 

Il più semplice polinomio che ha come zeri i due punti precedenti è

Q(x) = (x+6)(x-1) = x²+5x-6

• Passiamo al numeratore P(x)

La funzione deve avere un asintoto orizzontale di equazione y = 1, in altre parole:

Il grado del polinomio di P(x) deve essere 2, il coefficiente del termine più alto in grado deve essere 1. Infatti

$\displaystyle\lim_{x \to ±\infty} \frac{x^2+ax+b}{x^2+5x-6} = 1$

Rimangono da valutare i coefficienti a e b. Useremo le due intersezioni con gli assi.

⊳ Intersezione asse delle y.

dal grafico B(0,3/2) quindi $f(0) = \frac{b}{-6} = \frac {3}{2}$ per cui

b = - 9 

⊳ Intersezione asse delle x.

dal grafico B(4,0) quindi f(4) = 0 ovvero

$\frac {16+4a-9}{16+20-6} = 0$

$4a+7 = 0$

$ a = \frac{-7}{4}$

.

La funzione proposta è

$f(x) = \frac {x^2 -\frac{7}{4}x-9}{x^2+5x-6}$

.

• Grafico.

Ma sì, un sacco di persone! Altro che "Qualcuno".