Ho scomposto la funzione cotangente avendo così al numeratore ( ln(x-pi) * sin(2x))/cos(2x)
Ho svolto i calcoli e mi sono trovato ad avere un'espressione del tipo (sin(2x))/(x-pi) + ln(x-pi) - 2 cosec(x)
Se gentilmente potrei avere un chiarimento in merito. Grazie mille
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Livello 1
lim_(x → π-) ln(x - π) = - ∞ (sì, anche il valore complesso va a meno infinito!)
lim_(x → π+) ln(x - π) = - ∞
lim_(x → π-) cot(2*x) = - ∞
lim_(x → π+) cot(2*x) = + ∞
poiché anche alla forma ∞/∞ si può applicare senza trasformazioni il Teorema di de l'Hôpital si ha
* lim_(x → π+) ln(x - π)/cot(2*x) =
= lim_(x → π+) D[ln(x - π)]/D[cot(2*x)] =
= lim_(x → π+) (1/(x - π))/(- 2/sin^2(2*x)) =
= lim_(x → π+) - sin^2(2*x)/(2*(x - π)) = ...
avendo ottenuto una forma 0/0, si itera
... = lim_(x → π+) - D[sin^2(2*x)]/D[(2*(x - π))] =
= lim_(x → π+) - sin(4*x) =
= 0
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Genius I
@exprof 👍👌👍
Io farei il cambio di variabile t = x - pi
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Livello 7
@eidosm 👍👌👍
Un possibile svolgimento
x - pi = t
lim_t->0+ ln t/cotg [2t + 2pi] =
= lim_t->0+ ln t * sin(2t)/cos(2t)
e questa é una forma indeterminata
Abbiamo
lim_t->0+ ln t * 2 sin t cos t /(cos^2(t) - sin^2(t)) =
= lim_t->0+ 2 ln t * sin t / (1 - 0) =
= 2 lim_t->0+ sin t /(1/ln t) =
= < L'Hospital > =
= 2 lim_t->0+ cos t / (- 1/ln^2(t) * 1/t) =
= - 2 lim_t->0+ 1*t * ln^2(t)
poi ln t = u
- 2 lim_u->-oo e^u * u^2 =
= - 2 lim_u->+oo u^2 e^(-u) =
= -2 lim_u->+oo u^2/e^u =
= -2 lim_u->+oo 2u/e^u =
= -4 lim_u->+oo 1/e^u =
= -4*0 = 0
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Livello 7
@eidosm 👍👌👍
