[Risolto] IPERBOLE

L'equazione
* k*x^2 - (k^2 - 1)*y^2 = 1
presenta tre casi particolari per k ∈ {- 1, 0, 1}
* per k = - 1: - x^2 = 1 ≡ x = ± i ≡ parabola degenere su due parallele immaginarie distinte
* per k = 0: y^2 = 1 ≡ y = ± 1 ≡ parabola degenere su due parallele reali distinte
* per k = 1: x^2 = 1 ≡ x = ± 1 ≡ parabola degenere su due parallele reali distinte
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Per k ∉ {- 1, 0, 1} rappresenta
a) iperboli: per k*(k^2 - 1) > 0 ≡ (- 1 < k < 0) oppure (k > 1)
b) iperboli con i fuochi sull'asse x: per k > 1
c) iperboli con i fuochi sull'asse y: per - 1 < k < 0
d) l'iperbole col vertice V(1/2, 0)
nella forma
* (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1 ≡
≡ x^2/(1/k) - y^2/(1/(k^2 - 1)) = 1
si deve avere a = 1/2, cioè 1/√k = 1/2 ≡ k = 4
e) l'iperbole con i fuochi sull'asse x ed e = √(5/3) = √15/3
nella forma
* (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1 ≡
≡ x^2/(1/k) - y^2/(1/(k^2 - 1)) = 1
si deve avere
* c = √(a^2 + b^2) = √(1/k + 1/(k^2 - 1)) = √(1/k + 1/(k^2 - 1))
* e = c/a = √(1/k + 1/(k^2 - 1))/(1/√k) = √((k^2 + k - 1)/(k^2 - 1))
da cui
* (√((k^2 + k - 1)/(k^2 - 1)) = √15/3) & (k > 1) ≡
≡ k = 2