Trova il minimo e massimo assoluti

Problema:

Determina massimo e minimo assoluti della seguente funzione nell'intervallo indicato.

$y=^3\sqrt{x^3-x^2}$ in $[0,2]$

Soluzione:

Per il regolamento SOS Matematica è doveroso richiedere un solo quesito per volta.

Per studiare la posizione del massimo e del minimo è necessario studiare il segno della derivata prima, dacchè essa offre informazioni sull'andamento della funzione. Ove essa si annula, vi è un massimo o un minimo a seconda della monotonia che precede il punto.

$\frac{d}{dx} (^3\sqrt{x^3-x^2})=\frac{(3x-2) \cdot ^3\sqrt{x^3-x^2}}{3x²-3x}$

$\frac{(3x-2) \cdot ^3\sqrt{x^3-x^2}}{3x²-3x} \geq 0 \implies  x<0 \vee \frac{2}{3} \leq x <1 \vee x>1$ in questi intervalli il segno della derivata è positivo, dunque la funzione è crescente in questi intervalli. In $x=\frac{2}{3} \in [0,2]$ la derivata si annulla.

↑ | 0  ↓ $\frac{2}{3}$ ↑ 1  ↑ 2 |

Poiché in $0<x<\frac{2}{3}$ la funzione decresce e in $\frac{2}{3} < x <1$ la funzione è crescente, questo punto è di minimo.

Un punto di minimo più in basso di questo non è presente per come è costruita la funzione, dunque il minimo assoluto è $\min f(x) = f(\frac{2}{3})$.

Per il massimo assoluto è necessario valutare la funzione in $x=0$ e $x=2$, sempre per costruzione, e prendere il valore più alto. $\max f(x)= f(2)$.