[Risolto] Problemi di massimo e minimo geometria analitica

@giuliaaassss

Ciao devi studiare la funzione derivata y' = dy/dx

Quindi:

y = 1/7·x^7 - 4·x^4 + 5/7------>  y' = x^6 - 16·x^3

che esprime il coefficiente angolare della retta tangente.

Quindi devi ricercare il minimo della funzione y' e verificare che esso sia effettivamente minimo per tale funzione.

Quindi applico su y' le condizioni necessarie: y''=0

6·x^5 - 48·x^2 =0----> 6·x^2·(x - 2)·(x^2 + 2·x + 4) = 0

risolvo ed ottengo:

x = -1 - √3·i ∨ x = -1 + √3·i ∨ x = 2 ∨ x = 0

Quindi hai due punti ad essere candidati (quelli in grassetto)

Applico le C.S. sulla y':

y'''=30·x^4 - 96·x

per x=0: 30·0^4 - 96·0 =0

per x=2: 30·2^4 - 96·2= 288 >0 che attesta che per x=2 si ha il minimo della funzione y'

y = 1/7·2^7 - 4·2^4 + 5/7-----> y = -45

P(x,-45) è il punto richiesto

mt(x)= = x^6 - 16 x^3 = (x^3)^2 - 16 x^3 + 64 - 64 = (x^3 - 8)^2 - 64

é chiaramente minimo quando x^3 = 8 ovvero x = 2

Data la funzione
* y = x^7/7 - 4*x^4 + 5/7
il minimo richiesto è il minore dei minimi relativi della sua derivata prima, che sono le soluzioni del sistema
* (derivataSeconda = 0) & (derivataTerza > 0) ≡
≡ (6*(x^3 - 8)*x^2 = 0) & (6*(5*x^3 - 16)*x > 0) ≡
≡ ((x = 0) oppure (x = 2)) & ((x < 0) oppure (x > 2*(2/5)^(1/3))) ≡
≡ (x = 0) & ((x < 0) oppure (x > 2*(2/5)^(1/3))) oppure (x = 2) & ((x < 0) oppure (x > 2*(2/5)^(1/3))) ≡
≡ (x = 0) & (x < 0) oppure (x = 0) & (x > 2*(2/5)^(1/3)) oppure (x = 2) & (x < 0) oppure (x = 2) & (x > 2*(2/5)^(1/3)) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) oppure (x = 2) ≡
≡ x = 2
da cui
* y = 2^7/7 - 4*2^4 + 5/7 = - 45
quindi il punto richiesto è
* P(2, - 45)
che è proprio il risultato atteso.