Una piramide regolare quadrangolare avente l'altezza di $\mathrm{cm} 7 \sqrt{5}$ è tagliata con un piano parallelo alla base e distante $\mathrm{cm} 6 \sqrt{5}$ dal vertice. Sapendo che la sfera circoscritta al tronco ottenuto è uguale alla sfera circoscritta alla piramide data, determinare l'area della superficie laterale del tronco ed il volume della piramide staccata dal piano dato.
$$
[52 \sqrt{6} ; 288 \sqrt{5}]
$$
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Livello 2
La sfera non può essere la stessa che contiene quindi sia la piramide che il tronco di cono ( te ne devi immaginare due distinte, ma con lo stesso raggio r)
Ciao. Dai un'occhiata al mio post. Buona sera.
Ciao @alfonso3
Un disegno su cui tu puoi ragionarci sopra:
ove D e d sono le diagonali dei quadrati costituenti le basi del tronco di piramide , h ed H sono le altezze della piramide mancante per costruire il tronco ed H l'altezza della piramide.
Se avrò tempo e voglia ( e soprattutto se mi ricorderò) vedrò di risolvere il problema posto. altrimenti ci proverà qualcun altro.
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h/Η = d/D---> Η = 7·√5 cm; h = 6·√5 cm
d = 6·D/7
Con riferimento alla 1^ sfera (quella in alto)
Η = r + √(r^2 - (D/2)^2)
Con riferimento alla 2^ sfera( inferiore)
Η - h = √(r^2 - (d/2)^2) - √(r^2 - (D/2)^2)
Quindi:
{7·√5 = r + √(r^2 - (D/2)^2)
{7·√5 - 6·√5 = √(r^2 - (6/7·D/2)^2) - √(r^2 - (D/2)^2)
--------------------------
√5 = √(49·r^2 - 9·D^2)/7 - √(4·r^2 - D^2)/2
7·√5 = √(4·r^2 - D^2)/2 + r
√(4·r^2 - D^2)/2 = 7·√5 - r
√5 = √(49·r^2 - 9·D^2)/7 - (7·√5 - r)
8·√5 - r = √(49·r^2 - 9·D^2)/7
(r - 8·√5)^2 = (49·r^2 - 9·D^2)/49
r^2 - 16·√5·r + 320 = (49·r^2 - 9·Δ^2)/49
49·(r^2 - 16·√5·r + 320) = 49·r^2 - 9·D^2
49·r^2 - 784·√5·r + 15680 = 49·r^2 - 9·D^2
r = 9·√5·D^2/3920 + 4·√5
√(4·r^2 - D^2)/2 = 7·√5 - r
√(4·(9·√5·D^2/3920 + 4·√5)^2 - D^2)/2 = 7·√5 - (9·√5·D^2/3920 + 4·√5)
√5·√(81·D^4 - 486080·D^2 + 245862400)/3920 = 3·√5 - 9·√5·D^2/3920
D = - 14·√2 ∨ D = 14·√2 cm
d = 6·(14·√2)/7---> d = 12·√2 cm
b = 12 cm spigolo di base superiore del tronco
Β = 14 cm spigolo di base inferiore del tronco
L'area della superficie laterale di un tronco di piramide retto è uguale all'area del trapezio avente basi di misura uguale ai perimetri di base del tronco e altezza congruente all'apotema del tronco.
12·4 = 48 cm e 14·4 = 56 cm
Apotema laterale:
a = √(((D - d)/2)^2 + (Η - h)^2)
a = √(((14·√2 - 12·√2)/2)^2 + (7·√5 - 6·√5)^2)
a = √7 cm
1/2·(48 + 56)·√7 = 52·√7 cm^2
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V = 1/3·12^2·6·√5----> v = 288·√5 cm^3
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