[Risolto] distanza punto medio e baricentro

Considera i punti A(-2a;-1) e B(a-5;-1), con a>0, e trova a in modo che AB sia 7. Determina poi il punto C di ascissa 5 in modo che il triangolo ABC abbia area 35

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ABS(a - 5 + 2·a) = 7----> ABS(3·a - 5) = 7

equivalente a:

3·a - 5 = 7 ∨ 3·a - 5 = -7-----> a = - 2/3 ∨ a = 4

Quindi:

A(-8,-1) e B(-1,-1)

Il punto C ha coordinate: C(5,y) con y determinabile dall'equazione:

1/2·7·ABS(y + 1) = 35

ABS(y + 1) = 10

y + 1 = 10 ∨ y + 1 = -10

quindi:

y = -11 ∨ y = 9

Il titolo con le due consegne c'entra come i cavoli a merenda.
Le consegne sono:
1) |AB| = 7, con A(- 2*a, - 1) e B(a - 5, - 1)
2) S(ABC) = 35, con A(- 2*a, - 1), B(a - 5, - 1) e C(5, h)
cioè
* |AB| = √((- 2*a - (a - 5))^2 + (- 1 - (- 1))^2) = |5 - 3*a| = 7
* S(ABC) = |(3*a - 5)*(h + 1)|/2 = 35
calcoli dove "distanza punto medio e baricentro" non sono serviti, in quanto basati sull'identità
* √(u^2) = |u| per u reale
e sul metodo riportato in fondo.
Compresa la condizione restrittiva "a > 0", il sistema
* (|5 - 3*a| = 7) & (|(3*a - 5)*(h + 1)|/2 = 35) & (a > 0) ≡
≡ ((a = - 2/3) oppure (a = 4)) & (a > 0) & (|(3*a - 5)*(h + 1)|/2 = 35) ≡
≡ (a = 4) & (|(3*4 - 5)*(h + 1)| = 70) ≡
≡ (a = 4) & (|7*(h + 1)| = 70) ≡
≡ (a = 4) & (|h + 1| = 10) ≡
≡ (a = 4) & ((h = - 11) oppure (h = 9)) ≡
≡ (a = 4) & (h = - 11) oppure (a = 4) & (h = 9)
da cui le due soluzioni
* A(- 8, - 1), B(- 1, - 1), C1(5, - 11)
oppure
* A(- 8, - 1), B(- 1, - 1), C2(5, 9)
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http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%28-8%2C-1%29%28-1%2C-1%29%285%2C-11%29%28-8%2C-1%29%285%2C9%29%28-1%2C-1%29
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METODO GENERALE per il calcolo dell'area S del triangolo ABC di vertici
* A(a, p), B(b, q), C(c, r)
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Scegliere secondo convenienza uno dei vertici, p.es. C, ed eseguire le sottrazioni di coppie
* CA ≡ A - C = (a, p) - (c, r) = (a - c, p - r)
* CB ≡ B - C = (b, q) - (c, r) = (b - c, q - r)
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Eseguire l'operazione
* CA × CB = (a - c, p - r) × (b - c, q - r) = a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)
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Dimezzare il valore assoluto del risultato dà il valore dell'area
* S(ABC) = |CA × CB|/2 = |a*(q - r) + b(r - p) + c*(p - q)|/2