[Risolto] TRIGONOMETRIA quarta liceo

Ho letto il tuo messaggio privato «Buon pomeriggio, scusami, sono nuova di quest’app. Sono giorni che cerco di risolvere il problema di trigonometria che ho messo sul profilo, ma non riesco davvero ad uscirne. Potresti darmi una mano, per favore?» marcato 13:43
Prendo atto di "sono nuova di quest’app", ma il Regolamento l'hai letto?
Se metti i problemi "sul profilo" non li vede nessuno, io sto rispondendo a quello pubblicato come inizio di discussione, quello che vedono tutti.
Quando ti trovi a dire "non riesco davvero ad uscirne" insistere per giorni sulla stessa linea è la peggior decisione; è assai più fruttuoso cambiare approccio per chiarirsi le idee.
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Unità di misura: lunghezza, a; area, a^2; volume, a^3.
RIFORMULO
Il triangolo isoscele ABC ha:
* lato di base AB, con |AB| = b = 8;
* lati di gamba AC e BC, con |AC| = |BC| = L = 5;
* altezza h = √(L^2 - (b/2)^2) = 3;
* angolo al vertice γ: b^2 = L^2 + L^2 - 2*L*L*cos(γ) ≡
≡ cos(γ) = - 7/25 ≡ γ ~= 106° 15' 37'' > 90° →
→ l'angolo γ interno al vertice C è ottuso, infatti se fosse retto si avrebbe L = 8/√2 ~= 5.7 > 5.
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PER CHIARIRMI LE IDEE introduco un riferimento Axy dove definisco/calcolo
* A(0, 0), B(8, 0), C(4, 3)
* angolo BAP = θ
* pendenza AP = tg(θ) = m
* semiretta AP ≡ (y = m*x) & (4 < x < 8)
* segmento BC ≡ (y = 6 - 3*x/4) & (4 < x < 8) & (0 < y < 3)
* AP & BC ≡ (y = m*x) & (y = 6 - 3*x/4) & (4 < x < 8) & (0 < y < 3) ≡
≡ P(24/(4*m + 3), 24*m/(4*m + 3)) & (0 < m < 3/4)
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E non basta!
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Per P(24/(4*m + 3), 24*m/(4*m + 3)) passano tutte e sole le rette:
* x = 24/(4*m + 3), parallela all'asse y;
* y = 24*m/(4*m + 3) + p*(x - 24/(4*m + 3)), per ogni pendenza p reale.
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* retta AB ≡ y = 0, con perpendicolari x = k
* retta AC ≡ y = (3/4)*x, con perpendicolari y = h - (4/3)*x
quindi le proiettanti di P sono
* su AB: x = 24/(4*m + 3)
* su AC: y = 24*m/(4*m + 3) - (4/3)*(x - 24/(4*m + 3)) ≡ y = 8*(3*m + 4)/(4*m + 3) - (4/3)*x
e le proiezioni di P che ne derivano sono
* K(24/(4*m + 3), 0)
* (y = (3/4)*x) & (y = 8*(3*m + 4)/(4*m + 3) - (4/3)*x) & (0 < m < 3/4) ≡
≡ H((96/25)*(3*m + 4)/(4*m + 3), (72/25)*(3*m + 4)/(4*m + 3))
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Le distanze
* |PH| = (96/25)*|(4*m - 3)/(4*m + 3)|
* |PK| = 24*|m/(4*m + 3)|
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La soluzione del vincolo
* "PH + PK = 16/5 a" ≡
≡ ((96/25)*|(4*m - 3)/(4*m + 3)| + 24*|m/(4*m + 3)| = 16/5) & (0 < m < 3/4) ≡
≡ m = 6/13 = tg(θ)
* sin(θ) = sin(arctg(6/13)) = 6/√205
* cos(θ) = cos(arctg(6/13)) = 13/√205
non verifica il risultato atteso
* "5sinx - 3cosx = 0" ≡ 5*6/√205 - 3*13/√205 = - 9/√205 != 0
quindi potrei aver toppato da qualche parte, ma anche no (gli esercizi dei libri scolastici pullulano di errori).
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Penso comunque utile, per chiarirsi le idee, disegnare i risultati dando per buono
* m = 6/13
da cui
* P(104/21, 16/7)
* H(64/15, 16/5)
* K(104/21, 0)
rette
* AB ≡ y = 0
* AC ≡ y = (3/4)*x
* BC ≡ y = 6 - 3*x/4
* PH ≡ y = 80/9 - (4/3)*x
* PK ≡ x = 104/21
ma devi farlo tu: per almeno due ore da adesso non dovrei avere collegamento.
PS: se hai da dirmi qualcosa non mandare messaggi privati, ma "Aggiungi un commento" qui sotto; verrò a vedere dopo le 19.

L'ho svolto e l'ho fatto al secondo tentativo.

Per me, da telefono, sarebbe lungo da scrivere tutto, ci vogliono molte ore.

Per il teorema di Carnot

(8a)^2 = (5a)^2 + (5a)^2 - 2*(5a)^2 cos ACB^

50 cos ACB^ = 50 - 64

cos ACB^ = - 14/50 = - 7/25 < 0

L'angolo ACB è nel secondo quadrante e quindi è ottuso.

Adesso B = (P-C) /2 = P/2 - C/2

e quindi sin B = cos C/2 = rad ((1 + cos C) /2) =

= rad((1-7/25)/2) = rad(9/25)  = 3/5

B si trova nel primo quadrante perché il suo doppio

deve essere inferiore a pi greco. 

Allora cos B = 4/5.

Seconda parte più tardi.

Devi calcolare AP con il Teorema dei seni e poi

AP sin x + AP sin (B - x) = 16/5a

AP/sin B = AB/sin (P-x-B)

AP/(3/5) = 8a/sin(B+x)

avendo usato la proprietà per cui i seni di archi supplementari sono uguali. 

AP = 24/5 a / sin(B+x)

 A questo punto la risolvete del problema assume la forma

24a/5 *(sin x +  sin(B-x)) / sin (B+x) = 16*5 a

sin x + sin(B-x) = 2/3 sin (B+x)

(sin x + 3/5 cos x - 4/5 sin x)*3 =

= 2*(3/5 cos x + 4/5 sin x)

3 sin x + 9 cos x = 6 cos x + 8 sin x

riducendo e dividendo

3 cos x = 5 sin x

tg x = 3/5

x = arctg*( 3/5)

SECONDA RISPOSTA
Purtroppo la mia elasticità con la trigonometria è bassina: i miei più recenti contatti risalgono all'anno scolastico 1956/57. Ho fatto pesantemente ricorso a WolframAlpha con calcoli brutti.
Se avvisi @EidosM o altri responsori abituali, ti mostrano una risoluzione da mezza pagina al più.
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Il tuo accurato disegno qualche chiarimento me lo apporta.
* semplifica la posizione di P(4 + d, 6 - (3/4)*d) & (0 < d < 4)
* |AK| = 4 + d
* l'angolo alla base α (= β) = arctg(3/4) si suddivide in θ e φ = arctg(3/4) - θ
* cos(β) = cos(arctg(3/4)) = 4/5
* cos(γ) = - 7/25
* |CP| = v
* |BP| = 5 - v
* |AP| = u
* |PK| = u*sin(θ)
* |PH| = u*sin(φ) = u*(3*cos(θ) - 4*sin(θ))/5
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Carnot & Pitagora
* u = √(5^2 + v^2 - 2*5*v*(- 7/25)) = √(8^2 + (5 - v)^2 - 2*8*(5 - v)*4/5)
* u^2 = |PH|^2 + |AH|^2 ≡
≡ u^2 = (u*(3*cos(θ) - 4*sin(θ))/5)^2 + |5 + √(v^2 - (u*(3*cos(θ) - 4*sin(θ))/5)^2)|^2 ≡
≡ u^2 = v^2 + 25 + 10*√(v^2 - (u*(3*cos(θ) - 4*sin(θ))/5)^2)
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* (u = √(5^2 + v^2 - 2*5*v*(- 7/25))) & (u^2 = v^2 + 25 + 10*√(v^2 - (u*(3*cos(θ) - 4*sin(θ))/5)^2)) & (0 < v < 5 < u < 8) & (0 < θ < arctg(3/4)) ≡
≡ (u = 24/√((4*sin(θ) + 3*cos(θ))^2)) & (v = (24*√((4*cos(θ) - 3*sin(θ))^2/(4*sin(θ) + 3*cos(θ))^2) - 7)/5)
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* |PK| + |PH| = u*sin(θ) + u*(3*cos(θ) - 4*sin(θ))/5 =
= (u/5)*(sin(θ) + 3*cos(θ)) =
= (24/5)*(sin(θ) + 3*cos(θ))/√((4*sin(θ) + 3*cos(θ))^2)
--------
* |PK| + |PH| = 16/5 ≡
≡ (3*(sin(θ) + 3*cos(θ))/√((4*sin(θ) + 3*cos(θ))^2) = 2) & (0 < θ < arctg(3/4)) ≡
≡ θ = - 2*arctg((5 - √34)/3)
da cui
* sin(θ) = sin(- 2*arctg((5 - √34)/3)) = 3/√34
* cos(θ) = cos(- 2*arctg((5 - √34)/3)) = 5/√34
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* "5sinx - 3cosx = 0" ≡ 5*3/√34 - 3*5/√34 = 0
Ok