Trigonometria esercizio nr 332 grazie sono in preparazione della verifica

Il triangolo rettangolo ABC è la metà di un triangolo equilatero per cui il cateto AB opposto all'angolo di 30 gradi è metà dell'ipotenusa e quello opposto all'angolo di 60 gradi è (2/2)*radice (3)= radice (3)

Ho calcolato i lati del trapezio sapendo che in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'ipotenusa per il sen (angolo opposto) o per il cos (angolo adiacente).

Il perimetro del trapezio risulta quindi:

2+cos(x)+radice (3) * sen(x) + sen(x) + radice (3) * cos (x) =

= (1+radice (3))* cos(x) + (1+radice (3))*sen(x) + 2=

= 2+(1+radice (3))*(sen(x)+cos(x))

Il perimetro deve essere uguale a:

2+radice (2)+radice (6)= 2+radice(2) * (1+radice (3))

Uguagliando le due espressioni, semplificando il 2 e dividendo entrambi i membri per (1+radice (3)), otteniamo la condizione :

sen(x) +cos(x) =radice (2) 

radice(2)* sen(x+PI/4) = radice (2)

Sen(x+PI/4)=1=Sen(PI/2)

x+PI/4=PI/2

x=PI/2-PI/4= PI/4

Per cui otteniamo x=45 gradi 

 

 

Il triangolo rettangolo è la metà di un triangolo equilatero per cui si ha:

AB=1 ; AC=√3

L'altezza del trapezio rettangolo è data dalla somma:

AC*COS(α)+AB*COS(pi/2 - α)= B'C'

(utilizzo i radianti ed al posto di x l'angolo α )

Le basi del trapezio sono:

CC'=AC*SIN(α)

BB'=AB*SIN(pi/2 - α)

Il perimetro del trapezio deve valere:

CC'+B'C'+BB'+BC=

=√3·SIN(α) + √3·COS(α) + 1·COS(pi/2 - α) + 1·SIN(pi/2 - α) + 2 =

=(√3 + 1)·COS(α) + (√3 + 1)·SIN(α) + 2

Quindi si deve risolvere l'equazione goniometrica:

(√3 + 1)·COS(α) + (√3 + 1)·SIN(α) =√6 + √2

Pongo 

{X=COS(α)

{Y=SIN(α)

e risolvo il sistema:

{(√3 + 1)·X + (√3 + 1)·Y =√6 + √2

{X^2+Y^2=1

tale sistema fornisce la soluzione:[X = √2/2 ∧ Y = √2/2] 

Quindi α = pi/4 = 45°

(2 + √6 + √2 = 5.863703305)