[Risolto] Trigonometria

Disse Michele Apicella (dopo averle dato due schiaffoni!)
«Come parla? Come parla? Le parole sono importanti! Chi parla male, pensa male. E vive male. Le parole sono importanti. Trend negativo. Io non parlo così. Io non parlo così!»
all'intervistatrice che parlava male, ma sempre meglio di come tu scrivi!
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"i lati non paralleli cm 13 e cm 14" ORRORE!
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"triangolo che si forma dividendo il punto medio" nemmeno Dalì avrebbe diviso un punto.
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"Trigonometria" e perché mai? Il testo del problema non prescrive metodi.
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Provo a riformulare, intendendo le misure tutte in centimetri.
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Le lunghezze dei lati del trapezio ABCD sono
* a = |AB| = 35 = base maggiore
* b = |BC| = 14 = obliquo destro
* c = |CD| = 20 = base minore
* d = |DA| = 13 = obliquo sinistro
Gli angoli interni ai vertici (A, B, C, D) hanno ampiezze (α, β, γ, δ).
Nomino anche lunghezze di altri segmenti, potenzialmente utili,
* c/2 = 10 = |DM| = |MC| = |PQ| = |QR|
* h = |DP| = |MQ| = |CR|
* p = |AP|
* q = |AQ|
* r = |RB|
* s = |QB|
* x = |MA|
* y = |MB|
che si riferiscono ai punti
* M: punto medio del segmento BC
* P, Q, R: piedi su AB delle altezze abbassate da D, M, C
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Si chiede di determinare
* le lunghezze (x, y)
* le ampiezze (α, β, γ, δ)
* le ampiezze degli angoli interni del triangolo ABM
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Inizio cercando la posizione di Q, l'altezza e i due sbracci di AB
* (q = p + c/2) & (p + r = a - c) & (d^2 = h^2 + p^2) & (b^2 = h^2 + r^2) ≡
≡ (h^2 = b^2 - (((a - c)^2 + b^2 - d^2)/(2*(a - c)))^2) &
& (p = ((a - c)^2 - b^2 + d^2)/(2*(a - c))) &
& (q = (a*(a - c) - b^2 + d^2)/(2*(a - c))) &
& (r = ((a - c)^2 + b^2 - d^2)/(2*(a - c))) ≡
≡ (h^2 = 14^2 - (((35 - 20)^2 + 14^2 - 13^2)/(2*(35 - 20)))^2) &
& (p = ((35 - 20)^2 - 14^2 + 13^2)/(2*(35 - 20))) &
& (q = (35*(35 - 20) - 14^2 + 13^2)/(2*(35 - 20))) &
& (r = ((35 - 20)^2 + 14^2 - 13^2)/(2*(35 - 20))) ≡
≡ (h = 56/5) & (p = 33/5) & (q = 83/5) & (r = 42/5)
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* s = r + c/2 = 92/5
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Il passo successivo è la ricerca delle misure di AM e MB.
* x^2 = h^2 + q^2 = (56/5)^2 + (83/5)^2 ≡ x = √401 ~= 20.02
* y^2 = h^2 + s^2 = (56/5)^2 + (92/5)^2 ≡ y = 4*√29 ~= 21.54
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Con ciò si conclude la determinazione delle lunghezze d'interesse
|AB| = a = 35; |AD| = d = 13; |AM| = x = √401;
|BC| = b = 14; |BM| = y = 4*√29;
|CM| = c/2 = 10;
|DM| = c/2 = 10.
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Il terzo passo è la risoluzione di tre istanze dello stesso problema: determinare le ampiezze degli angoli interni di un triangolo di cui sono date le lunghezze dei lati.
* triangolo ADM: lati (c/2, d, x) = (10, 13, √401).
* triangolo ABM: lati (x, y, a) = (√401, 4*√29, 35).
* triangolo BCM: lati (c/2, b, y) = (10, 14, 4*√29).
La risoluzione consiste nell'applicare due volte il teorema di Carnot per trovare i coseni di due angoli e poi calcolare il terzo come differenza fra un piatto e la somma dei due arcocoseni.
Te ne mostro solo uno, gli altri due calcoli sono del tutto simili.
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Triangolo ABM: lati (x, y, a) = (√401, 4*√29, 35); angoli (α', β', μ).
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* cos(α') = (x^2 + a^2 - y^2)/(2*a*x) =
= ((√401)^2 + 35^2 - (4*√29)^2)/(2*35*√401) = 83/(5*√401)
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* cos(β') = (y^2 + a^2 - x^2)/(2*a*y) =
= ((4*√29)^2 + 35^2 - (√401)^2)/(2*35*4*√29) = 23/(5*√29)
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* α' = arccos(83/(5*√401)) ~= 0.5935 rad ~= 34° 0' 26.97''
* β' = arccos(23/(5*√29)) ~= 0.5468 rad ~= 31° 19' 43.29''
* μ = π - (arccos(83/(5*√401)) + arccos(23/(5*√29))) ~=
~= 2.0013 rad ~= 114° 39' 49.73''
Verifica
* (34° 0' 26.97'') + (31° 19' 43.29'') + (114° 39' 49.73'') =
= 179° 59' 59.99'' ~=
~= 180° a meno di un centesimo di secondo.
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Dagli altri due calcoli ricavi (α'', β'').
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Il passo quarto e finale è il calcolo di (α, β) come somma delle ampiezze trovate.

h^2 =   14^2 - x^2

h^2 = 13^2 - y^2;

14^2 - x^2 = 13^2 - y^2;

x + y = 35 - 20 = 15;

x = 15 - y;

196 - (15 - y)^2 = 169 - y^2;

196 - 169 - 225 - y^2 + 30y + y^2 = 0;

- 198 + 30y = 0

y = 198 /30 = 6,6 cm;

x = 15 - 6,6 = 8,4 cm;

h = radice(14^2 - 8,4^2) = radice(125,44) = 11,2 cm; (altezza trapezio e triangolo ABM).

Lato triangolo isoscele  AM:

 

AM = radice(11,2^2 + (35/2)^2) = 20,8 cm.                                                                                                                         

Area trapezio = (35 + 20) * 11,2/2 = 308 cm^2;

 

Area triangolo = 35 * 11,2/2 = 196 cm^2,

 

sen(angolo in A) = h / 14 = 11,2/14 = 0,8;

angolo inA = arcsen(0,8) = 53,13°