Problema traslazione

Se, come immagino,  la scrittura corretta é y = [(k-2)x + 1]/(2x) allora la simmetria richiesta si ha per k = 2

Infatti

- y = [(k - 2) (-x) + 1]/(-x)

y = [(2-k) x + 1]/x

coincide con y = [(k-2)x + 1]/x

se e solo se 2 - k = k - 2 =>   k - 2 = 0 => k = 2.

Ciao Cate.teti

Credo che più precisamente avresti dovuto scrivere:

y = (k - 2)·x + 1/(2·x)

perché come l'hai scritta poteva essere intesa come l'equazione di una retta. Se è come io penso si tratta di una famiglia di iperboli. Per k=2 si annulla il primo termine ed hai l'equazione di un'iperbole equilatera y = 1/(2·x) con asintoti gli assi cartesiani x ed y. Anche per k ≠ 2 hai delle iperboli non equilatere (ad es. per k=3: y = x + 1/(2·x) ). In ogni caso si tratta sempre di funzioni dispari ossia sono tutte simmetriche rispetto all'origine. Quindi di primo acchitto ti rispondo per ogni valore reale di k. 

Ciao ancora. Penso che sia esatta l'interpretazione della formula scritta da te come ha proposto il responsore @EidosM. In tal caso:

((k - 2)·x + 1)/(2·x) =f(x)

Allora per essere vero quanto dici si deve verificare di avere una funzione simmetrica rispetto all'origine cioè una funzione dispari f(x)=-f(-x) che esprime una condizione necessaria e sufficiente allo scopo.

f(-x) =((k - 2)·(-x) + 1)/(2·(-x)) = (x·(k - 2) - 1)/(2·x)

Quindi:((k - 2)·x + 1)/(2·x) = - (x·(k - 2) - 1)/(2·x)

per x ≠ 0 deve essere (k - 2)·x + 1 = - (x·(k - 2) - 1)

(k - 2)·x + 1 = x·(2 - k) + 1

In questo caso hai una identità (1=1) solo se k=2

Leggere "Problema traslazione" come titolo della richiesta "Trovare, se esistono, i valori del parametro per cui l'equazione data rappresenta il grafico di una funzione dispari." m'ha fatto pensare a uno del più celebri culacchi di papa Caliazzu (arciprete di Lucugnano sotto Paolo IV Carafa) il quale, svegliato una mattina dai furtivi palpamenti del sacrestano gay che si giustificava dicendo "Volevo rammentarti che oggi iniziano le Quattro Tempora", sbottò «E che cosa c'entra il mio culo con le Quattro Tempora?»
http://www.ilpensieromediterraneo.it/papa-galeazzo-la-maschera-salentina-piu-famosa/
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La maggior parte delle funzioni non sono né pari (simmetriche rispetto all'asse y) né dispari (simmetriche rispetto all'origine). Il vantaggio nello studio di quelle che lo siano è di potersi limitare all'esame nel primo quadrante.
Per stabilire se una funzione f(x) sia pari, dispari oppure nessuna delle due la si riscrive come somma della sua parte pari con la sua parte dispari: f(x) = fp(x) + fd(x).
Si stabilisce che f(x) è pari se la sua parte dispari è identicamente nulla, e viceversa.
fd(x) = (f(x) - f(- x))/2
fp(x) = (f(x) + f(- x))/2
fd(x) = 0 se f(x) = f(- x) [f(x) è simmetrica rispetto all'asse y: pari].
fp(x) = 0 se f(x) = - f(- x) [f(x) è simmetrica rispetto all'origine: dispari].
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Per stabilire la parità di "y=(k-2)x+1/2x" occorre anzitutto ipotizzare dove debbano stare le parentesi che ti sono rimaste nella tastiera.
Qual sarà mai la funzione da dispareggiare?
A) y = f(x) = (k - 2)*x + (1/2)*x = ((2*k - 3)/2)*x
B) y = f(x) = (k - 2)*x + 1/(2*x) = (2*(k - 2)*x^2 + 1)/(2*x)
La condizione di disparità impone il vincolo
* f(x) + f(- x) = 0
che, nei due casi, diventa
A) ((2*k - 3)/2)*x - ((2*k - 3)/2)*x = 0
B) (2*(k - 2)*x^2 + 1)/(2*x) - (2*(k - 2)*x^2 + 1)/(2*x) = 0
Quindi, qual che fosse la parentetizzazione originaria, entrambe le interpretazioni rappresentano il grafico di una funzione dispari per ogni valore di k.
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Vedi il paragrafo "Plot/s" ai link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B%28%282*k-3%29%2F2%29*x%2C%7Bk%2C-2%2C2%7D%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B%282*%28k-2%29*x%5E2%2B1%29%2F%282*x%29%2C%7Bk%2C-2%2C2%7D%5D