Trigonometria

SIA ABC IL TRIANGOLO RETTANGOLO ISOSCELE INSCRITTO NELLA SEMICIRCONFERENZA DI DIAMETRO AB = 2R DETERMINA UN PUNTO P SULL ARCO BC IN MODO CHE IL RAPPORTO FRA L AREA DEL TRIANGOLO PBC E QUELLA DEL TRIANGOLO ABC SIA UGUALE A (sqrt3 -1)/4

area triangolo ABC = 2r*r/2 = r^2

area triangolo PCB = r√2*PH/2

area PCB/area ABC = (√3-1)/4

r√2*PH/(2r^2) = (√3-1)/4

4√2*PH = 2r(√3-1)

PH = 0,732*r/(2√2) = 0,2588*r

area PCB = r√2*0,2588*r/2 = 0,1830 r^2

Poniamo per semplicità r=1 e facciamo riferimento alla figura allegata sopra.

y = √(1 - x^2) è l'equazione della semicirconferenza

per cui P [x, √(1 - x^2)] è il punto da determinare

Α = (√3 - 1)/4 deve essere l'area del triangolo PBC

B [1, 0]

C [0, 1]

P [x, √(1 - x^2)]

B [1, 0]

Α = 1/2·ABS((1·1 + 0·√(1 - x^2) + x·0) - (1·√(1 - x^2) + x·1 + 0·0))

Α = 1/2·ABS(1 - (√(1 - x^2) + x))

Deve essere:

1/2·ABS(1 - (√(1 - x^2) + x)) = (√3 - 1)/4

per cui abbiamo due possibilità:

1 - (√(1 - x^2) + x) = - (√3 - 1)/2

∨

1 - (√(1 - x^2) + x) = (√3 - 1)/2

Risolvo la prima equazione ed ottengo:

x = √3/2 ∨ x = 1/2

Risolvo la seconda equazione ed ottengo:

x = - √(6·√3 - 4)/4 - √3/4 + 3/4    (cioè x = -0.3150878974)

Quindi ho due posizioni che risolvono il problema posto:

x = √3/2 ∨ x = 1/2

a cui corrispondono le coordinate di P:

[√3/2, 1/2]

[1/2, √3/2]