[Risolto] Trigonometria

Ecco una rappresentazione in scala del problema.

Sappiamo che $|\overline{AB}-\overline{AC}| =6cm$, per brevità ho indicato i lati rispettivamente come $a$, $c$ e il lato noto come $b$, quindi:
$|a-c|=6cm$

$a=c \pm 6cm$

Per una questione di coerenza con il mio disegno sceglierò come definizione $a=c+6cm$, se scegliessi $a=c-6cm$ dovresti invertire $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$ anche nel disegno e nelle soluzioni che ricaveremo a breve, ma dato che il perimetro è una somma di lati e l'area è un prodotto, i valori non cambieranno perché addizione e moltiplicazione sono commutative.

Per il teorema del coseno:

$b^2=a^2+c^2-2ac \cos \alpha$

tuttavia, sappiamo che $a=c+6cm$, $b=3\sqrt{7}cm$ e $\alpha =60^{\circ} \implies \cos \alpha = \frac{1}{2}$, quindi sostituiamo per avere un'equazione con incognita $c$:

$9 \cdot 7 cm^2 = c^2 +(c+6cm)^2-2\cdot c(c+6cm) \cdot \frac{1}{2}$

$63cm^2 = c^2+c^2+12c\ cm+36cm^2-c^2-6c\ cm$

$c^2+6c\ cm -27cm^2=0$

$(c+9cm)(c-3cm)=0$

Naturalmente scartiamo $c=-9cm$ perché la lunghezza di un segmento non può essere negativa, quindi $c=3cm \implies a= c+6cm = 3cm+6cm=9cm$. Allora il perimetro $P$ del triangolo è $a+c+b=3cm +9cm +3\sqrt{7}cm = 12cm + 3\sqrt{7}cm = (12+3\sqrt{7})cm \approx 19.94cm$. Puoi calcolare l'area con Erone, oppure dall'angolo dato $A=\frac{1}{2}ac\sin \alpha =\frac{1}{2} 9cm \cdot 3 cm \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} 9cm \cdot 3cm \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{27 \sqrt{3}}{4} cm^2 \approx 11.69cm^2$.

===========================================================

Lato $\small AC= x;$

lato $\small AB= x+6;$

lato $\small CB= 3\sqrt7\,cm;$

conoscendo l'angolo su A e il lato opposto un modo per calcolare i lati incogniti può essere applicando la seguente formula del coseno:

$\small \sqrt{(x+6)^2+x^2-2(x+6)·x·cos(60°)}= 3\sqrt7$

$\small \sqrt{x^2+12x+6^2+x^2-(2x^2+12x)·0,5}= 3\sqrt7$

$\small \sqrt{2x^2+12x+36-(2x^2·0,5+12x·0,5)}= 3\sqrt7$

$\small \sqrt{2x^2+12x+36-(x^2+6x)}= 3\sqrt7$

$\small \sqrt{2x^2+12x+36-x^2-6x}= 3\sqrt7$

$\small \sqrt{x^2+6x+36}= 3\sqrt7$

eleva ambo le parti al quadrato:

$\small x^2+6x+36= \left(3\sqrt7\right)^2$

$\small x^2+6x+36= 9·7$

$\small x^2+6x+36= 63$

eguaglia a zero:

$\small x^2+6x+36-63= 0$

$\small x^2+6x-27= 0$

equazione di secondo grado completa quindi risolvi con i seguenti dati:

$\small a=1; b= 6; c= -27$

$\small \Delta= b^2-4ac = 6^2-(4·1·(-27)) = 36-(-108) = 36+108 = 144$

applica la formula risolutiva:

$\small x_{1,2}= \dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2·a} = \dfrac{-6\pm\sqrt{144}}{2·1}= \dfrac{-6\pm12}{2}$

quindi:

$\small x_1= \dfrac{-6-12}{2} = \dfrac{-18}{2} = -9;$ che escludiamo perché la misura di un lato non può essere negativa;

$\small x_2= \dfrac{-6+12}{2} = \dfrac{6}{2} = 3;$

per cui risulta:

lato $\small AC= x= 3\,cm;$

lato $\small AB= x+6= 3+6 = 9\,cm;$

conoscendo l'angolo su A e ora anche il lato AC puoi calcolare l'altezza relativa alla base AB:

altezza relativa ad AB $\small h= 3·\sin(60°) = \dfrac{3\sqrt3}{2}\,cm\;(\approx{2,598}\,cm);$

infine:

perimetro $\small 2p= 9+3+3\sqrt7 = 12+3\sqrt7\,cm\;(\approx{19,937}\,cm);$

area $\small A= \dfrac{AB·h}{2} = \dfrac{9·\dfrac{3\sqrt3}{2}}{2}= \dfrac{27\sqrt3}{2}·\dfrac{1}{2} = \dfrac{27\sqrt3}{4}\,cm\;(\approx{11,6913}\,cm).$