[Risolto] Trigonometria

In un trapezio circoscritto a una circonferenza, la somma delle basi è uguale alla somma dei lati obliqui. L'altezza del trapezio, che chiamiamo h, è uguale al diametro della circonferenza, quindi h = 2r

L'area di un trapezio si calcola con: Area = (Base maggiore + base minore) * h / 2.
Grazie alla proprietà vista sopra, possiamo sostituire la somma delle basi con la somma dei lati obliqui (che chiamiamo AD e BC):
Area = (AD + BC) * h / 2

Possiamo calcolare la lunghezza dei lati obliqui usando gli angoli alla base e l'altezza h.
Per il lato AD (con angolo di 75°): AD = h / sin(75°).
Per il lato BC (con angolo di 45°):  BC = h / sin(45°).

Sostituiamo le espressioni dei lati e l'altezza (h = 2r) nella formula dell'area:
Area = (h/sin(75°) + h/sin(45°)) * h / 2
Dato che l'area è 32√6 e h = 2r, l'equazione diventa:
32√6 = (2r / sin(75°) + 2r / sin(45°)) * 2r / 2

Semplificando, otteniamo:
32√6 = 2 * r^2 * (1/sin(75°) + 1/sin(45°))
32√6 = 2 * r^2 * √6

Dividiamo entrambi i lati per 2√6:
r^2 = 32√6 / (2√6)
r^2 = 16

r = 4

per l'equidistanza di un punto esterno ai due punti di tangenza determinati dalle tangenti condotte da quel punto alla circonferenza , sussistono le seguenti uguaglianze :

AE = AH

BF = BH

ED = DK 

CK = CF 

Cio' determina l'uguaglianza tra la somma delle basi e la somma dei lati obliqui; detto d il diametro pari all'altezza h del trapezio  si ha:

lato AD = d/sin 75° 

lato BC = d/sin 45°

doppia area = 64√6 = d(1/sin 75+1/sin 45)*d = 2,4495d^2

diametro d = √64√6/2,4495 = 8,00 cm

raggio r = d/2 = 4,00 cm