[Risolto] trigonometria

@raoulkamga

Ciao. Fai riferimento al grafico della figura allegata. Vale più di mille parole. Adesso ceno e dopo con calma ti spiego la mia risoluzione. Arrisentirci.

Cenato! Con lo stomaco pieno si ragiona meglio.

Risoluzione. Faccio riferimento ad un sistema cartesiano di assi ortogonali in cui, opportunamente (secondo me) ho inserito le coordinate dei vertici, A,B,C del triangolo.

La pendenza di AB rispetto all'asse delle x è tale per cui si ha m=-3/4.

AB=50 cm poi AC =80 cm (altrimenti risulta impossibile la costruzione del triangolo, almeno secondo me) quindi su quest'ultima misura data ci dovrebbe essere un errore materiale.

Con riferimento al triangolo rettangolo ABH si ha HB=30 ed AH=40. Quindi a questo punto si può trarre le conclusioni finali dal disegno allegato. Ciao.

Il triangolo di cui siano noti due lati e uno degli angoli non compresi si risolve come dettagliato al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Trigonometria#Risolvere_un_triangolo_noti_due_lati_(a_e_b)_e_l%27angolo_%7F%27%22%60UNIQ--postMath-0000011B-QINU%60%22%27%7F_opposto_al_lato_a
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Unità di misura: lunghezza, cm; superficie, cm^2.
Lati
* |AB| = c = 50; |AC| = b = x; |BC| = a = 80
Angoli
* bac = α = π - arctg(3/4) → sin(α) = 3/5, cos(α) = - 4/5
* acb = γ = arcsin((c/a)*sin(α)) = arcsin(3/8)
* abc = β = π - (α + γ) = arcsin(3/5) - arcsin(3/8) →
→ sin(β) = sin(arcsin(3/5) - arcsin(3/8)) = 3*(√55 - 4)/40
Incognite
* b = (sin(β)/sin(α))*a = 10*(√55 - 4) ~= 34.16
* perimetro 2*p = a + b + c = 10*(√55 + 9) ~= 164.16
* area A = [formula di Erone] = 150*√(71 - 8*√55) ~= 512.429773

Proseguo nel caso in cui sia giusto il dato del testo: ossia che BC= 80 cm.

in tal caso, metto a sistema:

{(x-40)^2+(y+30)^2=80^2
{y=0

quindi per sostituzione ho:

x^2-80x+1600+900=6400

x^2-80x-3900=0

che fornisce x=10sqrt(55)+40=114.161984871

v

x=40-10 sqrt(55)= -34.161984871

che corrispondono ai punti C  e C’ del grafico che allegherò.

Se così, si ritrovano pure i risultati del collega. La situazione è illustrata nella nuova figura: 2 sono i triangoli possibili! Secondo me ora bisogna considerare il triangolo a SINISTRA della figura in quanto solo un angolo ottuso da una tangente negativa. Quindi il risultato Esatto dovrebbe essere il triangoloABC’. Ciao

arctan -3/4 = -36,87°

cos = 0,800

sen = -0,600

80^2 = 50^2*c^2-2*50*c*0,8 

c^2-80c-3900 = 0

c = (80+√80^2+3900*4)/2 = (80+148,3)/2 = 114,2

perimetro 2p = 114,2+130 = 244,2 cm 

semiperimetro p = 122,1 cm 

area = √122,1*(122,1-114,2)*(122,1-80)*(122,1*50) = 15.745 cm^2