"In un triangolo ABC, rettangolo in A, la proiezione BH del cateto AB sull'ipotenusa è i 18/25 della mediana AM. Sapendo che il perimetro misura 240k, determina la misura della circonferenza circoscritta".
Ho sempre l'impressione che ci siano troppe incognite diverse. Ho provato con Euclide, tentando di impostare un sistema, prima valutando che p1=9/25h poi che p1=9/25i perché m= i/2 ma, appunto, troppe incognite.. e l'ho guardato e riguardato
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Livello 1
√(b^2 + c^2) = 2*r
L'ipotenusa non dovrebbe essere due volte il raggio solo nel caso in cui questa coincida col diametro della circonferenza? Per coincidere, l'ipotenusa non dovrebbe essere disegnata a metà della circonferenza?
Mi rispondo da sola.. Essendo il triangolo inscritto in una semicirconferenza necessariamente l'ipotenusa viene posta a metà della stessa.. Dunque dovrei ritoccare il mio disegno
Cara mirea00, devi sapere che la nomenclatura matematica dopo secoli di assestamento è ormai diventata uno standard; se il triangolo ha i vertici ABC allora i loro angoli interni si devono chiamare "α, β, γ" e i lati a loro opposti "a, b, c".
Perciò se hai "un triangolo ABC, rettangolo in A" l'ipotenusa si chiama "a".
Fra l'altro, non so se lo sapevi, ma è circa un quarto di millennio che il nome "i" è assegnato a una speciale costante che nulla ha a che vedere con la geometria euclidea.
Il cateto AB è lungo "c" e, avendo projezione minore del raggio r = a/2 è a maggior ragione minore del cateto AC che è lungo "b"; perciò le relazioni fra i lati sono
* c < b < a = √(b^2 + c^2) = 2*r
Il teorema di Euclide che tu evochi dovrebb'essere il secondo
* |BH|^2 = h^2 = (18/25)*r*(2*r - (18/25)*r) = (b*c/a)^2 ≡
≡ h^2 = ((24/25)*√(b^2 + c^2)/2)^2 = (b*c/√(b^2 + c^2))^2
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"tentando di impostare un sistema", parametrico in k, vuol dire
* (240*k = b + c + √(b^2 + c^2)) & (((24/25)*√(b^2 + c^2)/2)^2 = (b*c/√(b^2 + c^2))^2) & (0 < c < b) ≡
≡ (k > 0) & (b = 80*k) & (c = 60*k)
da cui
* a = √((80*k)^2 + (60*k)^2) = 100*k = 2*r ≡
≡ r = 50*k
e la richiesta "misura della circonferenza circoscritta" che è
* 2*π*r = 100*π*k
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Genius I
Io quando leggo "i" penso anche ai numeri complessi, ad esempio, però sono piccoli appunti personali che hanno una valenza per me ma che non necessariamente devono averla per gli altri.. Grazie mille per la risposta (e per le precedenti), la controllerò con più lucidità domani
Mi pare strana la tua idea di "piccoli appunti personali": se li pubblichi sono pubblici, non personali; ed hanno valenza necessariamente per tutti!
Quando, come me, si stagna a un livello di conoscenze rudimentale è difficile essere anche raffinati. Al momento cerco di capire il senso logico delle risoluzioni, comprendere le richieste del testo.. Non ho guida e un solo testo di riferimento e la geometria è una vecchia reminiscenza. Ho talmente tanto da imparare che questa mi sembra davvero un'inezia (ma forse questa convinzione mi deriva dall'ignoranza). Comprendo in ogni caso queste puntualizzazioni perché sono ben conscia che la matematica sia rigorosa
E le comprendo ancora di più se penso che prima o poi qualcuno leggerà quello che ho scritto e magari, se non ci fosse stato questo appunto, avrebbe interiorizzato quella nomenclatura. E' stato un errore in buona fede, ho spesso visto (ma forse non conta, la mia esperienza è ridotta) abbreviata l'ipotenusa in 'i'. Il sarcasmo di cui è permeato il commento non era necessario, l'umiliazione come mezzo non può servire a chi approccia con umiltà
Ciao. Il triangolo ABC è inscritto in una semicirconferenza. Per cui si ha, in base al disegno che hai riportato:
BM=MC=AM=x quindi 2x=diametro circonferenza= ipotenusa del triangolo rettangolo =BC
In base ai dati hai: BH=18/25*x e poi: HC=2·x - 18/25·x = 32·x/25
In base al ° teorema di Euclide, risulta:
c=AB=√((18/25·x)·(2·x)) = 6·x/5
b=AC= √((32/25·x)·(2·x)) = 8·x/5
a=BC=2x
Per semplicità di trattazione poniamo k=1. Quindi:
2·x + 8/5·x + 6/5·x = 240----> 24·x/5 = 240----->x = 50 cm= raggio circonferenza circoscritta.
La misura della circonferenza è quindi:
2·pi·50 = 100*pi-------->100·pi·k
Ciao
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Genius II
