[Risolto] Triangolo e incentro

@Beppe 

Il circocentro di un triangolo rettangolo coincide con il punto medio dell'ipotenusa. 

Ciao. Buona giornata 

@beppe

Ciao. L'encomiàbile @stefanopescetto, mi ha preceduto nel dare la sua preziosa risposta. La sua risoluzione mi sembra che percorra l'impostamento da te svolto: quindi credo che tu abbia sbagliato nei calcoli.

Ti allego la figura seguente con altri punti che tu puoi verificare come ad esempio i punti di tangenza delle rette che definiscono il triangolo rettangolo:

Anche su quest'esercizio, come sul precedente, mi limito a offrirti il mio punto di vista sia pure in grande ritardo rispetto alla pubblicazione.
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Se la circonferenza che ha per diametro il lato maggiore passa per il terzo vertice ciò vuol dire che si tratta del circumcerchio di un triangolo rettangolo.
Per individuare, se esiste, il lato maggiore serve il terzo vertice C che è l'intersezione delle rette tangenti l'incerchio Γ condotte da A e da B.
Per costruire Γ servono la congiungente AB e la sua distanza da F.
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A) Incerchio Γ
* lato AB ≡ c = 7*√5 ≡ (y = (x + 1)/2) & (1 <= x <= 15)
* |Fc| = 2*√5
* Γ1 ≡ (x - 3)^2 + (y - 7)^2 = (2*√5)^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 6*x - 14*y + 38 = 0
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B) Rette tangenti Γ
B1) da A(1, 1)
* (x = 1) & ((x - 3)^2 + (y - 7)^2 = 20)
è secante, non tangente
oppure
* (y = 1 + k*(x - 1)) & ((x - 3)^2 + (y - 7)^2 = 20)
è tangente se e solo se
* 2*k^2 + 3*k - 2 = 0 ≡ (k = - 2) oppure (k = 1/2)
per k = 1/2, come visto, si ha AB; quindi
* retta AC ≡ y = 1 - 2*(x - 1) ≡ y = 3 - 2*x
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B2) da B(15, 8)
* (x = 15) & ((x - 3)^2 + (y - 7)^2 = 20)
è esterna, non tangente
oppure
* (y = 8 + k*(x - 15)) & ((x - 3)^2 + (y - 7)^2 = 20)
è tangente se e solo se
* - 124*k^2 + 24*k + 19 = 0 ≡ (k = - 19/62) oppure (k = 1/2)
per k = 1/2, come visto, si ha AB; quindi
* retta BC ≡ y = 8 - (19/62)*(x - 15) ≡ y = (781 - 19*x)/62
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C) vertice C e lunghezze dei lati
* AC & BC ≡ (y = 3 - 2*x) & (y = (781 - 19*x)/62) ≡ C(- 17/3, 43/3)
* segmento AB: |AB| = c = 7*√5 ~= 15.65; punto medio (8, 9/2)
* segmento AC: |AC| = b = (20/3)*√5 ~= 14.9; punto medio (- 7/3, 23/3)
* segmento BC: |BC| = a = (29/3)*√5 ~= 21.6; punto medio (14/3, 67/6)
quindi la potenziale ipotenusa è BC e il potenziale circumcentro è (14/3, 67/6).
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D) VERIFICHE
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D1) potenziale circumcerchio di diametro BC
* Γ2 ≡ (x - 14/3)^2 + (y - 67/6)^2 = ((29/6)*√5)^2 = 4205/36
test d'appartenenza di A(1, 1)
* (1 - 14/3)^2 + (1 - 67/6)^2 = 121/9 + 3721/36 = 4205/36
Ok
ABC è rettangolo in A
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D2) Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%281%2C1%29%2815%2C8%29%28-17%2F3%2C43%2F3%29incircle%2Ccircumcircle