[Risolto] Equazioni circonferenze e fascio circonferenze

Determina l'equazione della circonferenza tangente alla retta t passante per A (0;3) e B (6; 1) e avente il centro di ascissa 2 sull'asse del segmento AB.

Determino la retta t passante per A(0,3) e B(6,1):

(y - 3)/(x - 0) = (1 - 3)/(6 - 0)-----> (y - 3)/x = - 1/3-----> y = 3 - x/3

Determino asse del segmento AB:

Punto medio:

{x=(0+6)/2=3

{y=(3+1)/2=2

M(3,2)

coefficiente angolari: m=3 (condizioni di perpendicolarità)

asse di AB: y - 2 = 3·(x - 3)-------> y = 3·x - 7

Determino il centro della circonferenza:

{y = 3·x - 7

{x=2

risolvo: C(2,-1)

(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = r^2

Passa per M(3,2):

(3 - 2)^2 + (2 + 1)^2 = r^2----->10 = r^2----> (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 10

quindi:  x^2 + y^2 - 4·x + 2·y - 5 = 0

Riscrivo la retta tangente ossia l'asse radicale in modo implicito:

x + 3·y - 9 = 0

Assumo quindi come fascio di circonferenze che hanno in comune la retta tangente:

x^2 + y^2 - 4·x + 2·y - 5 + λ·(x + 3·y - 9) = 0

che metto a sistema con asse delle x:

{x^2 + y^2 - 4·x + 2·y - 5 + λ·(x + 3·y - 9) = 0

{y = 0

per sostituzione si ottiene:

x^2 + x·(λ - 4) - (9·λ + 5) = 0

in cui si ha: Δ = (λ - 4)^2 + 4·(9·λ + 5)

Δ = λ^2 + 28·λ + 36

Quindi si ottengono le due radici.

x1 = (4 - λ - √(λ^2 + 28·λ + 36))/2

x2 = (4 - λ + √(λ^2 + 28·λ + 36))/2

Deve essere:

x2-x1=(4 - λ + √(λ^2 + 28·λ + 36))/2 - (4 - λ - √(λ^2 + 28·λ + 36))/2

√(λ^2 + 28·λ + 36) = 3

risolvo:

λ^2 + 28·λ + 36 = 9

λ^2 + 28·λ + 27 = 0------> λ = -27 ∨ λ = -1

La prima non è accettabile perché fornisce intersezioni con l'asse y:

x^2 + y^2 - 4·x + 2·y - 5 + (-27)·(x + 3·y - 9) = 0

x^2 - 31·x + y^2 - 79·y + 238 = 0

0^2 - 31·0 + y^2 - 79·y + 238 = 0

y^2 - 79·y + 238 = 0-----> y = 79/2 - √5289/2 ∨ y = √5289/2 + 79/2

Quindi è la seconda:

x^2 + y^2 - 4·x + 2·y - 5 + (-1)·(x + 3·y - 9) = 0

x^2 + y^2 - 5·x - y + 4 = 0

La retta AB congiungente due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* per a = b: AB ≡ x = a
* per p = q: AB ≡ y = p
* per (p = k*a) & (q = k*b): AB ≡ y = k*x
* per a != b: AB ≡ y = ((p - q)/(a - b))*x + (a*q - b*p)/(a - b)
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L'asse del segmento AB di estremi due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
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La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = √((m*u + q - v)^2/(m^2 + 1))
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A) "Determina l'equazione ... sull'asse del segmento AB."
Con i punti
* A(0, 3), B(6, 1)
si hanno le rette
* t ≡ y = 3 - x/3
* asse(AB) ≡ y = 3*x - 7
* (x = 2) & (y = 3*x - 7) ≡ C(2, - 1)
e il raggio
* r = distanza di C da t = √10
da cui l'equazione della circonferenza richiesta
* Γ ≡ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = (√10)^2 ≡
≡ x^2 - 4*x + y^2 + 2*y - 5 = 0
tangente t in T
* (y = 3 - x/3) & ((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 10) ≡ T(3, 2)
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B) "Trova poi ... asse radicale la retta t" ... e per asse centrale la retta
* CT ≡ asse(AB) ≡ y = 3*x - 7
Il fascio richiesto consiste delle circonferenze
* tangenti t in T
* di centri C(k, 3*k - 7)
* di raggi r = |CT| = √(10*(k - 3)^2)
ed ha equazione
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (3*k - 7))^2 = 10*(k - 3)^2
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C) "Tra le circonferenze del fascio ... non interseca l'asse delle y."
Questo vuol dire che fra le circonferenze del fascio si deve scegliere solo quelle che hanno
C1) zero intersezioni con l'asse y
* (x = 0) & ((x - k)^2 + (y - (3*k - 7))^2 = 10*(k - 3)^2) ≡
≡ (x = 0) & (y^2 - 2*(3*k - 7)*y + (18*k - 41) = 0)
* Δ(k) = 36*k^2 - 240*k + 360 < 0 ≡
≡ (10 - √10)/3 < k < (10 + √10)/3
C2) due intersezioni con l'asse x distanti 3
* (y = 0) & ((x - k)^2 + (y - (3*k - 7))^2 = 10*(k - 3)^2) ≡
≡ (y = 0) & (x^2 - 2*k*x + (18*k - 41) = 0) ≡
≡ (k - √(k^2 - 18*k + 41), 0) oppure (k + √(k^2 - 18*k + 41), 0)
distanti
* d(k) = 2*√(k^2 - 18*k + 41)
quindi
* (2*√(k^2 - 18*k + 41) = 3) & ((10 - √10)/3 < k < (10 + √10)/3) ≡
≡ k = 5/2
da cui
* Γ(5/2) ≡ (x - 5/2)^2 + (y - (3*5/2 - 7))^2 = 10*(5/2 - 3)^2 ≡
≡ (x - 5/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 5/2 ≡
≡ x^2 - 5*x + y^2 - y + 4 = 0