"In una circonferenza la cui lunghezza misura 50πa è inscritto un trapezio ABCD, contenente il centro O. La base maggiore AB è lunga 48a e la distanza della base minore CD dal centro O misura 20a. Determina la misura dell'area della superficie compresa fra la circonferenza e il trapezio".
Chiaramente per soddisfare il quesito devo avere a disposizione il valore dell'area della circonferenza e quello del trapezio. Mi sono però fermata proprio all'inizio della risoluzione perché non capisco come mai il valore del raggio sia di 25a ma dividendo 48a a metà ottenga invece 24a. Qual è il senso di questa incongruenza?
Ciao. La misura l di una circonferenza è legata al suo raggio dalla relazione:
l = 2·pi·r con formula inversa quindi: r = l/(2·pi )
Conosci l quindi: r = 50·pi·a/(2·pi) -----> r = 25·a (come giustamente hai detto!).
L'incongruenza che tu manifesti è legata al fatto che il trapezio non necessariamente ha base maggiore coincidente con il diametro della circonferenza, ma la base maggiore costituisce una sua corda (della circonferenza). Poni ora a=1 per snellire i calcoli: quello che dopo otterrai dovrai moltiplicarlo per a>0.
Quindi r=25. Puoi ora pensare che il tuo trapezio sia inscritto in una semicirconferenza con centro nell'origine degli assi cartesiani ortogonali:
y = √(25^2 - x^2) per x=-/+ 24 hai quindi la distanza y di A e di B:
y = √(25^2 - 24^2) -----> y = 7 (ossia 7a)
Quindi A(-24,7) e B(24,7). La base minore dista 20 dal centro. Quindi h= altezza trapezio:
h=20-7=13 (ossia 13 a)
La base minore del trapezio è, per y=20 : 20 = √(25^2 - x^2) da cui le soluzioni i x:
x = -15 ∨ x = 15 da cui i punti C(15,20) e D(-15,20) (devi sempre moltiplicare le coordinate per a)
Quindi la base minore vale 30 (ossia 30a)
Quindi: At=1/2·(48 + 30)·13 = 507----> 507 a^2 area trapezio.
NON VEDO ALCUNA INCONGRUENZA. "un trapezio ABCD, contenente il centro O" non implica affatto che la base maggiore sia diametro: il centro è all'interno, non sulla frontiera; quindi le due basi sono due corde parallele, nessuna diametrale e pertanto entrambe minori del diametro. ------------------------------ La proprietà da rammentare per impostare la risoluzione è che la metà c/2 di una corda e la sua distanza d dal centro sono cateti di un triangolo rettangolo che ha il raggio r per ipotenusa * r^2 = d^2 + (c/2)^2 per qualunque corda di qualunque circonferenza. ------------------------------ Unità di misura: lunghezza, a; superficie, a^2. La circonferenza di raggio r = 25 è lunga 50*π. Per la corda lunga 48 si ha * r^2 = d^2 + (c/2)^2 ≡ 25^2 = d^2 + (48/2)^2 Per la corda distante 20 si ha * r^2 = d^2 + (c/2)^2 ≡ 25^2 = 20^2 + (c/2)^2 quindi dal sistema * (25^2 = d^2 + (48/2)^2) & (25^2 = 20^2 + (c/2)^2) & (c > 0) & (d > 0) si ricavano i valori * c = 30 = lunghezza della base minore * d = 7 = distanza dal centro della base maggiore --------------- Poiché le basi sono da parti opposte rispetto al centro le loro distanze assommano all'altezza del trapezio * h = 27 e tanto basta per il calcolo del risultato richiesto. La richiesta di calcolare anche il perimetro del trapezio avrebbe comportato solo poche considerazioni in più.
In una circonferenza la cui lunghezza misura 50πa è inscritto un trapezio ABCD, contenente il centro O. La base maggiore AB è lunga 48a e la distanza della base minore CD dal centro O misura 20a. Determina la misura dell'area della superficie compresa fra la circonferenza e il trapezio".
Chiaramente per soddisfare il quesito devo avere a disposizione il valore dell'area della circonferenza e quello del trapezio. Mi sono però fermata proprio all'inizio della risoluzione perché non capisco come mai il valore del raggio sia di 25a ma dividendo 48a a metà ottenga invece 24a. Qual è il senso di questa incongruenza?
Tralasciamo, al momento, a che aggiungeremo alla fine!!
OA = OD = r = 50/2 = 25
OK = √25^2-24^2 = 7,00
OH = 20
HK = OK+OH = 20+7 = 27
DH = √25^2-20^2 = 15,00
DC = DH*2 = 30
area trapezio At = (48+30)*27/2 = 1053
area cerchio Ac = 25^2*π = 625π
area "differenza" Ad = (625π-1053)a^2 (≅ 910,50)a^2
