[Risolto] Circonferenza inscritta in un rombo

Diagonale maggiore:

D/2 = radice[a^2 - (a/2)^2] = radice[(4a^2 - a^2)/4] = a * radice(3) /2;

facciamo il  doppio, troviamo D.

D = a * radice(3) 

area rombo A = d * D / 2 = a * [a * radice(3)] / 2 = a^2 *radice(3) /2;

Area di un triangolo rettangolo A1: dividiamo l'area del rombo per 4.

A1 = A / 4 = [a^2 *radice(3) /2] / 4 = a^2 *radice(3) /8;

Altezza relativa all'ipotenusa h è uguale al raggio del cerchio inscritto.

L'ipotenusa è il lato del rombo: a.

h = A1 * 2 / ipotenusa = [a^2 * radice(3) /8] * 2 / a = a * radice(3) /4;

h = r = raggio del cerchio:

Area cerchio = pigreco * r^2 = pigreco *  (a * radice(3) /4)^2 = pigreco * 3 * a^2 /16,

Area cerchio = pigreco * 0,19 a^2 = 0,59 a^2.

@mirea00

Ciao di nuovo. Devi osservare che, per costruzione, hai 4 triangoli rettangoli. Ognuno di essi è pari alla metà di un triangolo equilatero! O, se vogliamo, il rombo è composto da due triangoli equilateri.

L'altezza di ognuno di loro è pari a √3/2·a

Ergo A rombo=2·1/2·a·√3/2·a = √3·a^2/2.

Il raggio della circonferenza inscritta è l'altezza relativa all'ipotenusa di ognuno dei 4 triangoli rettangoli individuati.

Area triangolino rettangolo=1/2·(a/2)·√3/2·a = √3·a^2/8

ma è pure uguale ad =1/2*a*r da cui r=2·√3·a^2/8/a = √3·a/4

area cerchio inscritto=pi·(√3·a/4)^2 = 3·pi·a^2/16

Ciao.

LA RADICE DI DUE NON C'ENTRA NULLA: NON CI SONO QUADRATI, QUI.
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La definizione di rombo è "quadrilatero equilatero", quindi se la sua diagonale minore è lunga quanto un lato allora risultano equilatere anche le due metà triangolari in cui essa lo divide.
L'area del rombo, quadrato del lato per il seno di un angolo interno (ma anche semiprodotto fra perimetro e inraggio "r"), risulta
* A = (√3/2)*a^2 = 4*a*r/2
da cui
* r = (√3/4)*a
L'area dell'incerchio del rombo quindi vale
* π*r^2 = π*((√3/4)*a)^2 = π*(3/16)*a^2

"Il lato e CD la diagonale minore AC di un rombo misurano a. Calcola la misura dell'area del rombo e del cerchio inscritto in esso".

OD = √a^2-(a/2)^2 = a√3 /2 

area rombo Ar = OC*OD*2 = a^2√3 /2 

raggio cerchio r = OC*OD/CD = (a^2√3 /4) /a = a√3 /4

area cerchio AC = π*3a^2/16

AC/AR = π*3/16*2/√3 = 2π√3/16 = π√3  /8