tetraedro regolare

Ciao. Per il momento allego figura. Domani se mi ricordo vedrò di risolverlo. Buonanotte.

Spigoli:

OA=√(6^2) = 6

OB=√(3^2 + (3·√3)^2) = 6

OC=√((2·√6)^2 + 3^2 + √3^2) = 6

AB=√((3 - 6)^2 + (3·√3)^2) = 6

AC=√((2·√6)^2 + (3 - 6)^2 + √3^2) = 6

BC=√((2·√6)^2 + (3 - 3)^2 + (√3 - 3·√3)^2) = 6

Equazione implicita di un piano: a·x + b·y + c·z + d = 0

Piano ABC:

{a·0 + b·6 + c·0 + d = 0

{a·0 + b·3 + c·(3·√3) + d = 0

{a·(2·√6) + b·3 + c·√3 + d = 0

Quindi:

{6·b + d = 0

{3·b + 3·√3·c + d = 0

{2·√6·a + 3·b + √3·c + d = 0

Risolvi: a = - √6·d/36 ∧ b = - d/6 ∧ c = - √3·d/18

quindi: x + √6·y + √2·z - 6·√6 = 0

Piano OAC: tipo: a·x + b·y + c·z = 0 (passa per O)

procedi analogamente ed ottieni: x - 2·√2·z = 0

La retta in questione l'ottieni mettendo a sistema i due piani.

Analoghe considerazioni per la superficie sferica:

x^2 + y^2 + z^2 + a·x + b·y + c·z + d = 0------>d=0

ottieni alla fine:

x^2 + y^2 + z^2 - √6·x - 6·y - 2·√3·z = 0

 

 

NON FARLO PIU'!
In tutte maiuscolo puoi scrivere mezza riga, mica tutto!
E leggi il paragrafo 3.1 del Regolamento, che ti serve con impellenza.
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Il quesito "2) scrivi l equazione" si tratta per ultimo.
I quesiti "1) verifica che" e "3) determina l equazione" si trattano insieme.
I punti
* O(0, 0, 0), A(0, 6, 0), B(0, 3, 3*√3), C(2*√6, 3, √3)
sono vertici di un tetraedro regolare (#1) se valgono due condizioni:
* gli si può costruire intorno una sfera circoscritta non degenere (#3);
* le mutue distanze hanno tutte lo stesso valore.
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L'equazione della sfera generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = q = r^2
ha quattro parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b, c).
Ciascuna delle quattro condizioni di passaggio dà un vincolo sui parametri
* per O(0, 0, 0): (0 - a)^2 + (0 - b)^2 + (0 - c)^2 = q
* per A(0, 6, 0): (0 - a)^2 + (6 - b)^2 + (0 - c)^2 = q
* per B(0, 3, 3*√3): (0 - a)^2 + (3 - b)^2 + (3*√3 - c)^2 = q
* per C(2*√6, 3, √3): (2*√6 - a)^2 + (3 - b)^2 + (√3 - c)^2 = q
il sistema dei vincoli
* (a^2 + b^2 + c^2 - q = 0) & (a^2 + b^2 + c^2 - q - 12*b + 36 = 0) & (a^2 + b^2 + c^2 - q - 6*b - (6*√3)*c + 36 = 0) & (a^2 + b^2 + c^2 - q - (4*√6)*a - 6*b - (2*√3)*c + 36 = 0) ≡
≡ (a^2 + b^2 + c^2 - q = 0) & (- 12*b + 36 = 0) & (- 6*b - (6*√3)*c + 36 = 0) & (- q - (4*√6)*a - 6*b - (2*√3)*c + 36 = 0) ≡
≡ (a = 0) & (b = 3) & (c = √3) & (q = 12 ≡ r = 2*√3)
oppure
≡ (a = - 4*√6) & (b = 3) & (c = √3) & (q = 108 ≡ r = 6*√3)
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Le sei distanze da calcolare, verificate eguali, sono
* |OA| = |OB| = |OC| = |AB| = |AC| = |BC| = 6
e poiché
* 2*√3 < 2*3 = 6 < 6*√3
e il circumraggio dev'essere minore dello spigolo, la circumsfera è
* Γ ≡ x^2 + (y - 3)^2 + (z - √3)^2 = 12 = (2*√3)^2
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Applicando lo stesso metodo all'equazione del generico piano in forma normale canonica
* a*x + b*y + c*z + d = 0
si trova che
* il piano per ACO è: x - (2*√2)*z = 0
* il piano per ACB è: (√2)*x + (2*√3)*y + 2*z - 12*√3 = 0
* la retta congiungente A con C è la loro intersezione
** (x - (2*√2)*z = 0) & ((√2)*x + (2*√3)*y + 2*z - 12*√3 = 0)