Teoria, retta tangente

Determiniamo la derivata prima della funzione calcolata nel generico punto x₀, con x₀ ≠ 0.

• $ y(x) = \frac{k}{x} \quad ⇒  \quad y(x₀) = \frac{k}{x₀} $
• $ y'(x) = -\frac{k}{x^2} \quad ⇒  \quad y'(x₀) = -\frac{k}{x₀^2} $

dall'interpretazione geometrica dello sviluppo di Tayor del 1° ordine segue che il coefficiente angolare della retta tangente $m_t $nel punto x₀ coincide con la derivata prima calcolata nello stesso punto, per cui

$ m_t(x_0) = (\dfrac{df(x)}{dx})_{x = x_0} $

nel nostro caso

$ m_t(x_0) = -\frac{k}{x₀^2} $

scriviamo l'iperbole equilatera come funzione esplicita della x :

xy = k   ---> y = k/x  

evidentemente per questa funzione la derivata prima rispetto ad x è il coefficiente angolare {pendenza} della retta tangente in x generico ... e coincide con la tangente trigonometrica  dell'angolo (< 90°) che la retta (orientata secondo le x crescenti) forma con l'asse x ( pendenza  che è , nel caso, negativa per ogni x , nel suo dominio).