Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Problema:
Applicando il teorema di Lagrange, verifica che $| \arctan x | ≤ |x|$, $\forall x \in \mathbb{R}$.
Soluzione:
Il teorema di Lagrange è applicabile alla funzione arcotangente su tutto $\mathbb{R}$.
In $[0,x]$ per Lagrange vale quindi la disuguaglianza $|\arctan x - \arctan 0|≤|x-0| \max_{x \in \mathbb{R}} | D( \arctan x) |$
Poiché $\max_{x \in \mathbb{R}} |D(\arctan x)|= \max |\frac{1}{1+x²} |=1$, si ha che
$|\arctan x - \arctan 0|≤|x-0| \max_{x \in \mathbb{R}} | D( \arctan x) |=|x-0|$
Ossia
$|\arctan x| ≤ |x|$ come volevasi dimostrare.
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Livello 6