[Risolto] teoremi sui triangoli rettangoli

Teorema 1: In un triangolo rettangolo la misura di un  cateto è data dal prodotto della misura dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto.

Dimostrazione: Considerando la definizione di seno di un angolo,mi basta considerare la circonferenza goniometrica e sostiruire il raggio unitario con un raggio pari alla misura dell'ipotenusa (c).

Ricorda che il seno di un angolo è il rapporto tra il cateto opposto all'angolo ed il raggio della circonferenza. In questo caso:

sin(alfa)=a/c; sin(beta)=b/c

 

Teorema 2: In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è data dal prodotto tra la misura dell'ipotenusa per il coseno dell'angolo acuto adiacente.

 

Dimostrazione: Considerando la figura di prima abbiamo: a=c*cos(beta); b=c*cos(alfa). Anche in questo caso puoi sfruttare la definisione di coseno di un angolo.

 

Teorema 3: In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è data dal prodotto tra la misura dell'altro cateto per la tangente del'angolo opposto al primo.

 

Dimostrazione: dalla figura otteniamo che a=b*tan(alfa); b=a*tan(beta). Dal primo teorema sappiamo che a=c*sin(alfa) e dal secondo che b=c*cos(alfa). Allora possiamo ricavare che c=b/cos(alfa).

Ora sostituiamo in a=c*sin(alfa)=b*(sin(alfa)/cos(alfa))=b*tan(alfa).

Per la seconda formula facciamo la stessa cosa considerando che b=c*sin(beta). Poi sappiamo che a=c*cos(beta) allora c=a/cos(beta).

Così ottengo b=c*sin(beta)=a*(sin(beta)/cos(beta))=a*tan(beta).

 

Teorema 4: In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è dato dal prodotto tra la misura dell'altro cateto per la cotangente dell'angolo adiacente al primo.

 

Dimostrazione: dall'immagine risulta a=b*cot(beta); b=a*cot(alfa).

Il procedimento è analogo a quello del terzo teorema.

 

Non è difficile. Alla fine basta considerare le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente.

🙂

 

 

 

Più che di teoremi parlerei di definizioni basate sul cerchio trigonometrico di raggio unitario !!

I veri teoremi riguardanti il triangolo rettangolo sono :

# 1° e 2° teorema di Euclide

# teorema di Pitagora

# teorema dell'angolo alla circonferenza di un triangolo rettangolo inscritto in una semi-circonferenza con ipotenusa coincidente con il diametro.

Lo sketch sottostante mostra i due teoremi di Euclide ed anche quello di Pitagora