[Risolto] ricerca punti base/soluzione sistema

L'equazione
* x*y = 0
rappresenta l'iperbole equilatera degenere sugli assi coordinati, suoi asintoti.
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L'equazione
* (x + 1 + i*y)*(x + 1 - i*y) = 0
rappresenta l'ellisse immaginaria
* (x + 1)^2 + y^2 = 0
degenere sul suo centro reale C(- 1, 0) che, essendo sull'asse x, è una soluzione del sistema.
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In quanto rappresentativo delle intersezioni fra due coniche (grado due) a coefficienti reali il sistema è di grado quattro e deve avere quattro soluzioni fra cui quelle complesse devono presentarsi in coppie coniugate.
Avendo già identificato una soluzione reale ce ne devono essere ancora o una o tre.
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Applicando la legge d'annullamento del prodotto il sistema di grado quattro si spezza nell'unione di due sistemi di grado due.
* (x*y = 0) & ((x + 1 + i*y)*(x + 1 - i*y) = 0) ≡
≡ (x*y = 0) & ((x + 1 + i*y = 0) oppure (x + 1 - i*y = 0)) ≡
≡ (x*y = 0) & (x + 1 + i*y = 0) oppure (x*y = 0) & (x + 1 - i*y = 0) ≡
≡ ((- 1, 0) oppure (0, i)) oppure ((- 1, 0) oppure (0, - i)) ≡
≡ coppia di soluzioni coniugate sull'asse y: (0, ± i)
oppure
≡ soluzione reale doppia: (- 1, 0)
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CONTRODOMANDA PER PURA CURIOSITA'
Come pensi di fare a specificare un fascio di coniche reali in cui due dei punti base sono complessi?

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AGGIUNTA (dopo aver visto il Commento)

Ah, beh, se è già dato ... allora non parlo più.
Nel caso del fascio
* x^2 + 2*k*x*y + y^2 - 2*x + 1 = 0
con coniche generatrici degeneri, ma senza una retta comune, tutte le coniche non degeneri hanno la stessa tangente nel punto base doppio.
Ad esempio le due sole parabole del fascio
* (x^2 + 2*x*y + y^2 - 2*x + 1 = 0) & (x^2 - 2*x*y + y^2 - 2*x + 1 = 0)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D0%2Cx%5E2%2B2*x*y%2By%5E2-2*x%2B1%3D0%2Cx%5E2-2*x*y%2By%5E2-2*x%2B1%3D0%5Dx%3D0to5%2Cy%3D-5to5
o due delle iperboli
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx%5E2%2B3*x*y%2By%5E2-2*x%2B1%3D0%2Cx%5E2%2B4*x*y%2By%5E2-2*x%2B1%3D0%5D
o delle ellissi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx%5E2%2Bx*y%2F8%2By%5E2-2*x%2B1%3D0%2Cx%5E2%2Bx*y%2F2%2By%5E2-2*x%2B1%3D0%5D

Dalla seconda equazione sai che se xy=0 allora x=0 oppure y=0.

Allora sostituisci nella prima equazione il numero 0 al posto della x: (1+iy)(1-iy)=0 quindi y^2=-1, per cui y=i oppure y=-i.

Poi sostituisci nella prima equazione il numero 0 al posto della y: (x+1)^2=0, quindi ci sono 2 soluzioni coincidenti, x=-1.

Le soluzioni sono quindi: (0,i);(0,-i);(-1,0);(-1,0)

Visto che le ultime 2 coincidono se ne può indicare anche solo una. Se volessi solo soluzioni reali le prime 2 non sarebbero accettabili.

SPIEGAZIONE

In matematica l'unità immaginaria (a volte rappresentata dalla lettera greca iota ) permette di estendere il campo dei numeri reali al campo dei numeri complessi . L'unità immaginaria è caratterizzata dall'essere un numero il cui quadrato è uguale a $-1$.

SOLUZIONE

$\begin{cases}(x+1+iy)(x+1-iy)=0\\xy=0\end{cases}$

$\begin{cases}x^{2}+x-xyi+x+1-yi+xyi+yi-i^{2}y^{2}=0\\xy=0\end{cases}$

$\begin{cases}x^{2}+2x+1-i^{2}y^{2}=0\\xy=0\end{cases}$

$\begin{cases}x^{2}+2x+1-(-1)y^{2}=0\\xy=0\end{cases}$

$\begin{cases}x^{2}+2x+1+y^{2}=0\\x=0\vee{y}=0\end{cases}$

Se $x=0$

$0^{2}+2\cdot0+1+y^{2}=0$

$y^{2}=-1$

$y=i\vee{y}=-i$

Se $y=0$

$x^{2}+2x+1+0^{2}=0$

$x^{2}+2x+1=0$

$(x+1)^{2}=0$

$x=-1$

Soluzioni

$(0;i)$

$(0;-i)$

$(-1;0)$