[Risolto] TEOREMI DI PITAGORA ED EUCLIDE IN CUI SI RICHIEDE DI RISOLVERE UN'EQUAZIONE DI 2° GRADO.

risolvo il #2
indichiamo
x, y le proiezioni dei cat. sulla ip.
h, altezza

la prima eq. e' l'enunciato di euclide2
In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.
x/h = h/y

la seconda e la terza sono ipotesi del prob
x - y = 5
h = 6

il sist. delle tre eq. mostra:
x = 9
y = 4

area:
S = (9+4) * 6 /2 = 39

il perimetro richiede i due cateti:
c1^2 = 9^2 + 6^2
c1 = 3 radq(13)

c2^2 = 4^2 + 6^2
c2 = 2 radq(13)

p = (3+2) * radq(13) + 9 + 4 = 31.02

risolvo il #4
indichiamo
bh = x
hc = y

la prima eq. e' l'enunciato di euclide2
In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.
x/h = h/y

la seconda e la terza sono ipotesi del prob
x + y = 50
375 = 50 * h / 2

il sist. delle tre eq. mostra:

x = 45
y = 5
h = 15

1

Su una semicirconferenza di diametro AB = 30 cm considera un punto P in modo che AP = ¾ PB. Trova il perimetro e l’area del triangolo APB. (72 cm, 216 cm quadrati).

30^2 = PB^2+9PB^2/16 = 25 PB^2/16

PB = √30^2*16/25 = 24,0 cm

AP = 24*3/4 = 18 cm 

perimetro 2p = 18+24+30 = 72 cm

area A = 24*9 = 216 cm^2 

2

In un triangolo rettangolo l’altezza h relativa all’ipotenusa è lunga 6 cm e la differenza tra le proiezioni dei cateti (p2-p1) sull’ipotenusa è 5 cm. Trova il perimetro e l’area del triangolo. (5radicedi 13+13 cm ; 39 cm q.)

h^2 = p2*(p2-5) (Euclide)

p2^2-5p^2-36 = 0 

p2 = (5+√5^2+144)2 = (5+13)/2 = 9,0 cm

p1 = p2-5 = 9-5 = 4 cm 

C1 = √6^2+4^2 = 2√13

C2 = √6^2+9^2 = 3√13

perimetro 2p = 5√13+4+9 = 13+5√13 cm

area A = (4+9)*6/2 = 39 cm^2

3

Data la circonferenza di centro O e raggio r, considera la tangente in un suo punto P e su di essa un punto Q tale che OQ=10. Detta H la proiezione di P su OQ, determina r affinché QH sia il doppio del raggio. 

i triangoli OPQ ed OPH sono simili per avere entrambi un angolo di 90° e l'angolo in O in comune , pertanto 

10/(2r+OH) = r/OH

10*OH = 2r^2+r*OH

OH(10-r) = 2r^2

OH = (2r^2)/(10-r) 

inoltre :

PH^2 = 2r*OH (Euclide)

PH^2 = r^2-OH^2 (Pitagora)

si uguagliano le due espressioni di PH^2 ottenendo :

2r*OH = r^2-OH^2

si sostituisce OH con la sua espressione (2r^2)/(10-r) ottenendo una equazione in r 

Leggere il 

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

quindi un solo ex per volta indicandone le difficoltà risolutive

4

 Nel triangolo rettangolo ABC di area A = 375 cm^2 l’ipotenusa BC è lunga 50 cm. Determina le lunghezze delle proiezioni p1 e p2 dei cateti sull’ipotenusa. (5 cm, 45 cm).

2A = C1*C2

C1 = √p1*50

C2 = √(50-p1)*50

750^2 = 50p1*(2500-50p1) (Euclide)

562.500 = 125.000p1-2500p1^2

si divide tutto per 2500 

225-50p1+p1^2 = 0 

p1 = (50-√50^2-225*4)/2 = (50-40)/2 = 5 cm 

p2 = (50+√50^2-225*4)/2 = (50+40)/2 = 45 cm

check : p1+p2 = 5+45 = 50 cm QED 

- Su una semicirconferenza di diametro AB = 30 cm considera un punto P in modo che AP = ¾ PB. Trova il perimetro e l’area del triangolo APB. (72 cm, 216 cm quadrati).

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Con i segmenti indicati si forma un triangolo rettangolo in quanto inscritto nella circonferenza di diametro AB che ne rappresenta l'ipotenusa, quindi ponendo:

cateto maggiore $\small PB= x;$

cateto minore $\small AP= \dfrac{3}{4}x;$

conoscendo l'ipotenusa imposta l'equazione seguente applicando il teorema di Pitagora:

$\small x^2+\left(\dfrac{3}{4}x\right)^2= 30^2$

$\small x^2+\dfrac{9}{16}x^2= 900\quad$ moltiplica tutto per 16:

$\small 16x^2+9x^2=14400$

$\small 25x^2 = 14400\quad$ dividi ambo le parti per 25 così isoli l'incognita:

$\small \dfrac{\cancel{25}x^2}{\cancel{25}} = \dfrac{\cancel{14400}^{576}}{\cancel{25}_1}$

$\small x^2 = 576\quad$ radice quadrata di ambo le perti:

$\small \sqrt{x^2} = \sqrt{576}$

$\small x= 24$

quindi:

cateto maggiore $\small PB= x = 24\,cm;$

cateto minore $\small AP= \dfrac{3}{4}x = \dfrac{3}{\cancel4_1}·\cancel{24}^6 = 3·6 = 18\,cm;$

per cui:

perimetro del triangolo $\small 2p= AB+PB+AP = 30+24+18 = 72\,cm;$

area del triangolo $\small A= \dfrac{PB·AP}{2} = \dfrac{24×\cancel{18}^9}{\cancel2_1} = 24·9 = 216\,cm^2.$ 

- Raggio incognito. Data la circonferenza di centro O e raggio x, considera la tangente in un suo punto P e su di essa un punto Q tale che OQ= 10. Detta H la proiezione di P su OQ, determina x affinché QH sia il doppio del raggio. (10radice di 2 -1).

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$\small\text{Raggio } r= x;$

$\small OQ= 10;$

$\small QH= 2x;$

$\small OH= 10-2x;$

$\small \text{OP, PQ, e OQ, formando un triangolo rettangolo, sono rispettivamente i cateti e l'ipotenusa;}$

$\small\text{equazione utilizzando il 1° teorema di Euclide:}$

$\small \dfrac{x^2}{10-2x} = 10$

$\small x^2=10(10-2x)$

$\small x^2 = 100-20x$

$\small x^2+20x-100=0$

$\small a= 1; b= 20; c= -100$

$\small \Delta= b^2-4ac = 20^2-(4·1·-100) = 400-(-400) = 400+400 = 800;$

$\small \text{applica la formula risolutiva:}$

$\small x_{1,2}= \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-20\pm\sqrt{800}}{2·1} = \dfrac{-20\pm20\sqrt2}{2}=$

$\small x_1= \dfrac{-20+20\sqrt2}{2}= -10+10\sqrt2 = +10(\sqrt2-1)\quad(\approx{+4,142136});$

$\small x_2= \dfrac{-20-20\sqrt2}{2}= -10-10\sqrt2 = -10(\sqrt2+1)\quad(\approx{-24,142136});$

$\small\text{quindi, per il raggio, prendiamo il valore positivo, cioè: } x_1 = 10(\sqrt2-1)\quad(\approx{+4,142136});$

- Nel triangolo rettangolo ABC di area 375 cm² l’ipotenusa BC è lunga 50 cm. Determina le lunghezze delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. (5 cm, 45 cm).

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$\small\text{Altezza relativa all'ipotenusa: } h= \dfrac{2A}{i} = \dfrac{2×375}{50} = 15\,cm;$

$\small\text{proiezione cateto minore sull'ipotenusa } = p_1= x;$

$\small\text{proiezione cateto maggiore sull'ipotenusa } = p_2 = 50-x;$

$\small\text{equazione utilizzando il 2° teorema di Euclide:}$

$\small p_1×p_2 = h^2$ 

$\small x(50-x) = 15^2$

$\small 50x-x^2 = 225$

$\small -x^2+50x-225=0$

$\small x^2-50x +225=0$

$\small a=1; b= -50; c= 225;$

$\small \Delta= b^2-4ac = (-50)^2-4·1·225 = 2500-900 = 1600;$

$\small\text{applica la formula risolutiva:}$

 $\small x_{1,2}= \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-(-50)\pm\sqrt{1600}}{2·1} = \dfrac{50\pm40}{2}$

$\small\text{risultati:}$

$\small x_1= \dfrac{50-40}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$

$\small x_2= \dfrac{50+40}{2} = \dfrac{90}{2} = 45$

$\small\text{per cui:}$

$\small\text{proiezione cateto minore  } = p_1= x = 5\,cm;$

$\small\text{proiezione cateto maggiore } = p_2 = 50-x = 50-5 = 45\,cm.$