[Risolto] TEOREMI DI PITAGORA ED EUCLIDE IN CUI SI RICHIEDE DI RISOLVERE UN'EQUAZIONE DI 2° GRADO.

Sulla semicirconferenza avente il diametro AB = 60 cm determina un punto C in modo che il triangolo ABC abbia un perimetro 2p di 144 cm. (AC=36 cm o AC=48 cm).

AC+BC = 2p-AB = 144-60 = 84 cm

AC = 84-BC 

AC^2+BC^2 = (84-BC)^2+BC^2 = 60^2

84^2+BC^2-168BC+BC^2-3.600 = 0

3.456-168BC+2BC^2 = 0

1.728-84BC+BC^2 = 0

BC = (84+√84^2-1728*4)/2 = 48,0 cm (con BC > AC come da sketch suesposto)

AC = (84-√84^2-1728*4)/2 = 36,0 cm 

Calcola il perimetro 2p di un triangolo di area A uguale a 24 cm quadrati inscritto in una semicirconferenza che ha il raggio AO di 5 cm. (24cm).

diametro AB = 2*5 = 10 cm 

altezza CH = 2*A/AB = 48/10 = 4,8 cm 

CH^2 = AH*(10-AH) (Euclide)

4,8^2 = 10AH-AH^2

23,04-10AH+AH^2 = 0 

AH = (10-√10^2-23,04*4)/2 = 3,60 (con AH < BH)

BH = 10-3,60 = 6,40 cm 

AC = √AH*AB = √3,6*10 = 6,0 cm

BC = 8,0 cm (terna pitagorica 6, 8 e 10)

perimetro 2p = 6+8+10 = 24 cm 

La base maggiore B e l’altezza h di un trapezio isoscele misurano rispettivamente 10 e 3. Determina la base minore in modo che la somma dei quadrati costruiti sulla base minore e sul lato obliquo sia equivalente al doppio dell'area trapezio. ((16+-4radice di 11)/(5))

(B+b)*h = b^2+(h^2+(B-b)/2)^2

30+3b = b^2+9+(5-b/2)^2

30+3b = b^2+9+25+b^2/4-5b

5b^2/4-8b+4 = 0 

b = (8±√8^2-20)/(10/4) = (8±2√11)*4/10 = (16±4√11)/5

Nel rettangolo ABCD la diagonale AC è lunga 10 cm; si consideri su tale diagonale la proiezione H del vertice B. Sapendo che l’area A del rettangolo è 48 cm quadrati, determina la lunghezza di CH. (3,6 cm e 6,4 cm).

b*h = 48

b^2+h^2 = 10 

terna pitagorica 6, 8  e 10 

altezza BH = A/AC = 48/10 = 4,8 cm

CH = √6^2-4,8^2 = 3,6 cm 

AH = 10-3,6 = 6,4 cm 

Sulla semicirconferenza avente il diametro AB=60 cm determina un puntoi C in modo che il triangolo ABC abbia un perimetro di 144 cm. (AC=36 cm o AC=48 cm)

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Diciamo x ed y i due cateti del triangolo rettangolo inscritto nella semicirconferenza. Valgono le equazioni:

{x^2 + y^2 = 60^2

{60 + x + y = 144

per sostituzione y = 84 - x (dalla seconda) nella prima:

x^2 + (84 - x)^2 = 60^2----> x^2 + (x^2 - 168·x + 7056) - 3600 = 0

2·x^2 - 168·x + 3456 = 0

x^2 - 84·x + 1728 = 0

Risolvo ed ottengo:

x = 48 cm ∨ x = 36 cm

ed in corrispondenza a tali valori y:

y=36 cm v y=48 cm

Calcola il perimetro di un triangolo di area uguale a 24 cm quadrati inscritto in una semicirconferenza che ha il raggio di 5 cm. (24cm).

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- Sulla semicirconferenza avente il diametro AB= 60 cm determina un punto C in modo che il triangolo ABC abbia un perimetro di 144 cm. (AC=36 cm o AC=48 cm).

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Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo la cui ipotenusa corrisponde al diametro della stessa, quindi, conoscendo l'ipotenusa e il perimetro:

$\small AC+BC= 2p-i = 144-60 = 84\,cm;$

quindi:

$\small AC= x;$

$\small BC= 84-x;$

applica il teorema di Pitagora:

$\small x^2+(84-x)^2 = 60^2;$

$\small x^2+7056-168x+x^2 = 3600$

$\small 2x^2+7056-168x-3600=0$

$\small 2x^2-168x+3456=0$

$\small x^2-84x+1728 = 0$

$\small a=1; b= -84; c= 1728;$

$\small \Delta= b^2-4ac = (-84)^2-4·1·1728 = 7056-6912 = 144;$

$\small x_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-84)\pm\sqrt{144}}{2·1} = \dfrac{84\pm12}{2}$

$\small x_1= \dfrac{84-12}{2} = \dfrac{72}{2} = 36;$

$\small x_2= \dfrac{84+12}{2} = \dfrac{96}{2} = 48;$

risultati:

$\small AC= x = 36\,cm;$

$\small BC= 84-x = 84-36 = 48\,cm;$

i due cateti possono essere alternativamente l'una e l'altra misura, quindi AC può essere:

$\small AC= 36\,cm \lor 48\,cm.$

- Calcola il perimetro di un triangolo di area uguale a 24 cm² inscritto in una semicirconferenza che ha il raggio di 5 cm. (24 cm).

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Essendo inscritto in una semicirconferenza il triangolo è rettangolo la cui ipotenusa è congruente al diametro:

ipotenusa $\small i= 2r = 2·5 = 10\,cm;$

altezza relativa all'ipotenusa $\small h= \dfrac{2A}{i} = \dfrac{2×24}{10} = \dfrac{48}{10} = 4,8\,cm$ (formula inversa dell'area);

considerando le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa come segue:

proiezione cateto minore $\small p_1= x;$

proiezione cateto maggiore $\small p_2= 10-x;$

applica il 2° teorema di Euclide:

$\small x(10-x) = 4,8^2$

$\small 10x-x^2 = 23,04$

$\small -x^2+10x-23,04=0$

$\small x^2-10x+23,04=0$

$\small a=1; b= -10; c= 23,04$

$\small \Delta= b^2-4ac = (-10)^2-4·1·23,04 = 100-92,16 = 7,84;$

$\small x_{1,2}= \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-10)\pm\sqrt{7,84}}{2·1} = \dfrac{10\pm2,8}{2}$

$\small x_1= \dfrac{10-2,8}{2} = \dfrac{7,2}{2} = 3,6$

$\small x_2= \dfrac{10+2,8}{2} = \dfrac{12,8}{2} = 6,4$

proiezione cateto minore $\small p_1= x= 3,6\,cm;$

proiezione cateto maggiore $\small p_2= 10-x = 10-3,6 = 6,4\,cm;$

calcola ora i cateti applicando il 1° teorema di Euclide:

cateto minore $\small c= \sqrt{i·p_1} = \sqrt{10·3,6} = \sqrt{36} = 6\,cm;$

cateto maggiore $\small C= \sqrt{i·p_2} = \sqrt{10·6,4} = \sqrt{64} = 8\,cm;$

per cui, perimetro $\small 2p= C+c+i = 8+6+10= 24\,cm.$