Teorema sulle funzioni continue

Problema:

Stabilisci se vale il teorema di Weierstrass per la funzione $f(x)=\ln(\frac{1-4x+x²}{1-x-x²})$ negli intervalli $[-2;-1], [\frac{1}{2};1], [2;\frac{7}{2}]$.

Negli intervalli in cui vale il teorema di Weierstrass, determina se vale il teorema dei valori intermedi.

Soluzione:

Rivedi i conti.

Il teorema di Weierstrass sul continuo asserisce che in un intervallo chiuso e limitato (compatto) vi sono massimo e minimo.

Per vedere se la funzione soddisfa tali ipotesi è necessario studiarne l'insieme di definizione:

$\frac{1-4x+x²}{1-x-x²}>0 \implies x \in E \equiv  (-\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2-\sqrt{3}) \cup ( \frac{-1+\sqrt{5}}{2}, 2+ \sqrt{3}) \approx (-1.62, 0.27) \cup (0.62, 3.73)$

Poiché $[-2,-1]$ non è contenuto in $E$, in questo intervallo non vale il teorema di Weierstrass.  Lo stesso vale per $[\frac{1}{2}, 1]$.

Il teorema risulta soddisfatto solamente in $[2, \frac{7}{2}]$, sottoinsieme di E, dato che la compattezza dell'intervallo e la continuità della funzione sono garantiti.

Poiché il teorema dei valori intermedi asserisce che una funzione continua in un dato intervallo assume tutti i valori tra il massimo e il minimo in tale intervallo, vale anch'esso dato che la continuità è soddisfatta e per Weierstrass esistono massimo e minimo.