Data la funzione $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{3} & 0 \leq x \leq 2 \\ x^{2}-k x+h & 2<x \leq 4\end{array} \quad\right.$ si determinino per quali valori dei parametri $h$ e $k$ è applicabile il teorema di Lagrange nell'intervallo $[0 ; 4]$.
Data la funzione $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{3} & 0 \leq x \leq 2 \\ x^{2}-k x+h & 2<x \leq 4\end{array} \quad\right.$ si determinino per quali valori dei parametri $h$ e $k$ è applicabile il teorema di Lagrange nell'intervallo $[0 ; 4]$.
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Livello 1
Funzione definita a tratti avente componenti polinomiali e quindi continue assieme alle loro derivate.
Per applicare il teorema di Lagrange si deve mantenere la continuità della funzione con la sua derivata prima nell'unico punto critico dell'intervallo dato che è x=2 (dobbiamo fare un lavoro di cucitura).
f(2)=2^3 = 8 essendo f(x)= x^3------> f'(x)=3x^2
f'(2)= 3·2^2 = 12
Per quanto detto sopra, la seconda componente:
x^2 - k·x + h co derivata prima pari a: 2x-k
deve essere tale per cui i due limiti:
LIM(x^2 - k·x + h) = h - 2·k + 4
x---> 2+
LIM(2·x - k) = 4 - k
x-->2+
siano pari ai valori ottenuti sopra:
{h - 2·k + 4 = 8
{4 - k = 12
Risolvi ed ottieni: [h = -12 ∧ k = -8]
77303
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Genius II