Teorema di Rolle con parametro

$ f(x) = \begin{cases} ax^2-2x+1 \quad \text{x ≤ 2} \\ 2x+b \qquad \quad \quad \text{x > 2} \end{cases} $     in [-1, 7/2]

1. I due tratti che compongono f(x) sono funzioni razionali intere quindi continue. Occorre verificare che lo sia anche nel punto di raccordo x=2.

• $f(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4a - 3 $
• $ \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4+b $

per essere continua i due valori devono essere eguali  $ 4a-3 = 4+b \; ⇒ \; 4a-b = 7$

2. I due tratti che compongono f(x) sono funzioni razionali intere quindi derivabili. Occorre verificare che lo sia anche nel punto di raccordo. Determiniamo la derivata prima

$ f'(x) = \begin{cases} 2ax-2 \quad \text{x ≤ 2} \\ 2 \qquad \quad \quad \text{x > 2} \end{cases} $ 

Osserviamo che i due tratti di derivata sono continui quindi

• $D^- f(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f'(x) = 4a - 2 $
• $D^+ f(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f'(x) = 2 $

Le due derivate laterali sono eguali se  4a - 2 = 2  ⇒ a = 1

ne consegue che b = 4a-7 = -3

3. Controllo valori alla frontiera

$ f(x) = \begin{cases} x^2-2x+1 \quad \text{x ≤ 2} \\ 2x-3 \qquad \quad \text{x > 2} \end{cases} $

• $ f(-1) = 1+2+1 = 4 $
• $ f(\frac{7}{2}) = 7-3 = 4 $