Teorema di Rolle con parametro

Question

[attach]119924[/attach] [attach]119923[/attach] Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.

mg · Accepted Answer

Ipotesi del Teorema di Rolle Una funzione f(x) continua su [a, b], derivabile su (a, b) e tale che f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) tale che f'(c) = 0.    Dimostrazione Si devono considerare tre casi per la funzione f(x) sull'intervallo chiuso e limitato [a, b]: 1. Caso 1: f(x) è costante sull'intervallo [a, b] Se f(x) è costante, allora f(x) = k per ogni x ∈ [a, b].    In questo caso, la derivata prima f'(x) = 0 per ogni x ∈ (a, b).    Quindi, l'ipotesi è soddisfatta e esistono infiniti punti (tutti i punti dell'intervallo) in cui la derivata si annulla.    2. Caso 2: f(x) non è costante sull'intervallo [a, b] Poiché la funzione è continua nell'intervallo chiuso e limitato [a, b], per il Teorema di Weierstrass (o Teorema dell'estremo), la funzione ammette almeno un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto nell'intervallo [a, b].    Dato che f(x) non è costante, almeno uno di questi punti (massimo o minimo) deve trovarsi all'interno dell'intervallo (a, b). Siano x₁ il punto di minimo e x₂ il punto di massimo.    3. Sottocasi del Caso 2: Se un punto di massimo o minimo si trova all'interno dell'intervallo (a, b): Sia x₀ un punto interno all'intervallo (a, b) in cui la funzione raggiunge un massimo o un minimo assoluto.    Per il Teorema di Fermat, se una funzione raggiunge un massimo o minimo locale in un punto interno dell'intervallo, allora la sua derivata in quel punto è nulla, cioè f'(x₀) = 0.    Poiché si è detto che almeno un punto di massimo o minimo si trova interno all'intervallo, allora esiste almeno un punto c = x₀ ∈ (a, b) per cui f'(c) = 0.    Conclusione In ogni caso, esiste almeno un punto c interno all'intervallo (a, b) tale che f'(c) = 0, soddisfacendo così la tesi del Teorema di Rolle.    Significato Geometrico Geometricamente, il teorema dice che se una funzione è continua e derivabile in un intervallo e i suoi valori agli estremi sono gli stessi, allora esiste almeno un punto nell'intervallo in cui la retta tangente al grafico della funzione è parallela all'asse x (ovvero, ha coefficiente angolare nullo).

Teorema di Rolle con parametro

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