Teorema di Lagrange

Il Teorema di Lagrange, conosciuto anche come Teorema del Valore Medio, afferma che per una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, derivabile nell'intervallo aperto, esiste almeno un punto interno all'intervallo in cui la tangente alla curva è parallela alla retta che congiunge gli estremi dell'intervallo. Geometricamente, la pendenza della tangente (coefficiente angolare), in quel punto è uguale al rapporto incrementale tra gli estremi. 

f(x) = (x^2 - 2x)^1/2; è continua nell'intervallo [2, 4]

f'(x) = (1/2) * [(x^2 - 2x)^(1/2 - 1)] * (2x - 2) 

f'(x) = (1/2) * (2x - 2) / [radice(x^2 - 2x)]; derivabile nell'intervallo aperto ]2; 4[;

f'(c) = [f(4) - f(2)] / (4 - 2);

f(4) = radice(16 - 8) = radice(8) = 2 * radice(2);

f(2) = radice(4 - 4) = 0;

f'(c) = [2 radice(2) - 0] / (4 - 2) = radice(2); coefficiente angolare della retta tangente;

f'(x) = (1/2) * (2x - 2) / [radice(x^2 - 2x)] = (x - 1) / [radice(x^2 - 2x)] ;

troviamo il punto c:

(c - 1) /[radice(c^2 - 2c)] = radice(2); 

(c - 1)^2 = 2 * (c^2 - 2c);

c^2 - 2c + 1 = 2c^2 - 4c;

c^2 - 2c - 1 = 0;

c = 1 +- radice(1 + 1);

c1 = 1 + radice(2); accettabile, all'interno dell'intervallo dato;

c2 = 1 - radice(2); da escludere, è fuori dell'intervallo dato.

punto di tangenza T di coordinate  c1; f(c1) 

f(c1) = (x^2 - 2x)^(1/2) = [1 + 2 + 2 radice(2) - 2 - 2 radice(2)]^(1/2) ;

f(c1) = [3 - 2]^1/2 = 1;

punto di tangenza = (1 + radice(2) ; 1) 

retta tangente;

y = radice(2) * x + q;

1 = radice(2) * [1 + radice(2)] + q;

1 = radice(2) + 2 + q;

q = 1 - radice(2) - 2;

q = - radice(2) - 1;

retta tangente:

y = radice(2) * x - radice(2) - 1.

Ciao  @alby