Teorema di Rolle

y = LN(- x^2 + 9)

C.E. : - x^2 + 9 > 0----> -3 < x < 3

Quindi nell'intervallo chiuso dato: -2 ≤ x ≤ 2

è definita e continua.

I valori agli estremi dell'intervallo dato sono identici:

y = LN(- (-2)^2 + 9)---> y = LN(5)

y = LN(- 2^2 + 9)----> y = LN(5)

[-2, LN(5)] ; [2, LN(5)]

La derivata della funzione:

y' = 2·x/(x^2 - 9)

risulta definita e continua  nell'intervallo: -2 < x < 2. Quindi le ipotesi del teorema di Rolle sono verificate e ci assicurano almeno un punto dell'intervallo detto per cui risulta:

y'=0 -----> 2·x/(x^2 - 9) = 0----> x = 0

y = LN(- 0^2 + 9)----> y = 2·LN(3)

[0, 2·LN(3)]

a.  f(x) verifica Rolle in [-2, 2]

1. f(-2)=f(2). La funzione è pari quindi l'uguaglianza è verificata.
2. f(x) è definita e continua in [-2, 2] essendo composizione di funzioni elementari continue
3. f(x) è derivabile in (-2, 2) essendo composizione di funzioni elementari derivabili

b.  Determiniamo il punto c

i) Derivata prima. $ f'(x) = -\frac{2x}{9-x^2} $

ii) Punto stazionario. $ f'(c) = 0 \; \; \iff \; c = 0 $  e  c∈(-2, 2)