Buongiorno, volevo porre una domanda. Come mai la tesi del teorema di Fermat, proposta dal mio manuale, prevede che la funzione f sia definita in un intervallo chiuso e limitato [a;b]? Non capisco perché si deve limitare la ipotesi a un intervallo chiuso?
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L'enunciato a cui fai riferimento è probabilmente questo:
Teorema: Sia $f$ una funzione continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$. Se $x_0 \in (a,b)$ è un punto di estremo locale per $f$, allora $f'(x_0)=0$.
Infatti se si avesse $x_0 \in [a,b]$ la tesi del teorema sarebbe banalmente falsa dato che una funzione $f(x)=x$ in $[0,1]$ avrebbe derivata non nulla nei punti di estremo. Se si considera invece $x_0 \in (a,b)$ si esclude ogni punto di massimo/minimo presente sul bordo: $f(x)=x$ non ha né massimo né minimo in $(0,1)$, ma solo punti di estremo superiore e inferiore, ossia $\inf_{x \in (0,1)} \{f(x) \}=0$ $\sup_{x \in (0,1)} \{ f(x)\}=1$.
In genere questa formulazione del teorema richiede una condizione un po' più stringente di quella comunemente usata (vedi il seguente link: https://en.wikipedia.org/wiki/Interior_extremum_theorem ), ma non è errata. Nella dimostrazione (ne ho viste un paio diverse) non è richiesta la continuità nel compatto, quindi sono giunta alla conclusione che la scelta di enunciarlo in questo modo sia puramente didattica dato che questo teorema è spesso spiegato insieme a quello di Weierstrass e ciò permette di comprendere meglio la differenza tra estremi locali e globali oltre ai punti di estremo sul bordo. (Ad analisi II si chiarirà tutto...)
Se hai la dimostrazione del manuale condividila.
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Livello 6
@rebc Certo ora la condivido, ma sono titubante sulle ipotesi. Grazie mille RebC per le tue stupende risposte e il tempo che ci dedichi! ☺️
@fede-uwu di nulla, faccio solo quello che posso e riesco a fare per la comunità dato che al momento non posso fare altro al di fuori di ciò 🙂 .
Capisco la titubanza sulle ipotesi dato che analisi I viene spiegata partendo dal "particolare" più che dal "generale", quindi certe ipotesi non vengono spesso colte a pieno (ad esempio, quando farai analisi II, capirai anche molte cose sulla differenza tra derivabilità e differenziabilità vedendola in un contesto più generale e astratto).
In genere ti consiglio di accettare le ipotesi solo in base alla dimostrazione dato che il processo di stesura dei teoremi parte spesso da una intuizione e man mano che si prova a dimostrarla si definiscono le condizioni necessarie e sufficienti: l'enunciato di un teorema viene solo alla fine dopo un attento labor limae .
Ecco!Grazie mille! ☺️ Inoltre c’è quel passo relativo all’inverso del teorema di permanenza del segno che non mi è chiaro, non avendolo affrontato.
@fede-uwu per il teorema di permanenza del segno basta conoscere l'enunciato:
Se $\lim_{x \to c} f(x)=L \neq 0$, allora esiste un intorno $I(c)$ tale che $f(x)$ ha lo stesso segno di $L$ per ogni $x \in I(c) \setminus \{ c\}$.
In questo caso si fa riferimento al caso $L=0$ (sopra l'asse x hai valori positivi e sotto l'asse y valori negativi, quindi segni distinti).
Guarda questo video se non ti è chiaro qualcosa: https://m.youtube.com/watch?v=AZnaVU1xdFg
Il manuale (credo sia quello di L. Sasso) ha usato quell'enunciato perché ha introdotto la nozione di "punto interno", quindi lo ha usato per una coerenza didattica probabilmente.
Per avere la risposta è necessario verificare dove tale ipotesi è utilizzata diventando così necessaria.
Ho controllato e non risulta essere usata. L'ipotesi necessaria è la derivabilità in un intervallo aperto.
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