Dilatazione termica n. 5

$L_f = L_i(1+\gamma \delta t)$ è la legge che regola la dilatazione termica lineare, quindi impostiamo un'equazione che sfrutti questa relazione per determinare la differenza delle lunghezze dei due corpi:
La differenza deve essere di $0.002m$, poniamo $\gamma_1=29 \cdot 10^{-6} °C^{-1}$ e $\gamma_2 =12 \cdot 10^{-6} °C^{-1}$. Dal momento che inizialmente i due corpi hanno la stessa lunghezza e la stessa temperatura, e supponendo che la variazione di temperatura sia la stessa per entrambi i corpi (altrimenti avremmo infinite coppie di temperature), possiamo impostare questa equazione:

$\left | L_i(1+\gamma_1 \Delta t)-L_i(1+\gamma_2 \Delta t) \right | =0.002m$

$\left| L_i(1+\gamma_1 \Delta t - 1 - \gamma_2 \Delta t) \right | = 0.002m$

$\left | L_i \Delta t (\gamma_1 -\gamma_2) \right | = 0.002m$

$L_i(\gamma_1 - \gamma_2) \left |\Delta t \right  | = 0.002m$

$\Delta t = \pm \dfrac{0.002m}{L_i(\gamma_1-\gamma_2)}$

$\Delta t  \approx \pm 42.78^{\circ} C$

$T_f-T_i \approx \pm 42.78^{\circ} C$

$T_f \approx T_i \pm 42.78^{\circ} C \implies T_f \approx (-15 -42.78)^{\circ} C  \approx -57.78^{\circ} C \lor T_f \approx (-15 +42.78)^{\circ} C \approx 27.78^{\circ} C$

Ho potuto portare fuori alcuni fattori dal valore assoluto perché avevo la certezza che fossero positivi.
La soluzione "negativa" rappresenta il caso in cui la barra di ferro sia più lunga di quella di piombo, quella positiva il contrario.

λ1 = 29 * 10^-6 °C^-1; piombo

λ2 = 12* 10^-6 C^-1;  ferro

Lo = 2,750 m; stessa lunghezza a To =  - 15°C;

il piombo dilata di più del ferro;

∆ L1 - ∆ L2 = 2 mm = 0,002 m

∆ L1 = Lo * 29 * 10^-6 * [T - (- 15°)]; dilatazione del piombo;

∆ L2 = Lo * 12 * 10^-6 * [T - (- 15°)]; dilatazione del ferro;

∆ L1 - ∆ L2 = Lo * 29 * 10^-6 * [T + 15°] - Lo * 12 * 10^-6 * [T+ 15°];

2,750 * 29 * 10^-6 * [T + 15°] - 2,750 * 12 * 10^-6 * [T + 15°] = 0,002;

7,975 * 10^-5 * (T + 15) - 3,30 * 10^-5 * (T + 15) = 0,002;

(T + 15) * (7,975 * 10^-5 - 3,30 * 10^-5) = 0,002;

T + 15 = 0,002 /(4,675 * 10^-5);

T = 42,78 - 15 = 27,8° (circa), temperatura in cui la differenza tra le due sbarre è 2 mm.

Ciao @socrate

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$\small\text{Lunghezze delle sbarre di piombo e ferro: } L_1\; e\; L_2 = 2,750\,m\;→\;= 2750\,mm;$

$\small\text{coefficiente dilatazione termica del piombo: } \lambda_1= 29·10^{-6}\,°C^{-1};$

$\small\text{coefficiente dilatazione termica del ferro: } \lambda_2= 12·10^{-6}\,°C^{-1};$

$\small\text{temperatura iniziale: } T_1= -15°C;$

$\small\text{temperatura finale: } T_2= \;?;$

$\small\text{differenza di lunghezza tra le due sbarre finale: } \Delta{l}= 2\,mm;$

$\small\text{quindi:}$

$\small \left(L_1·\Delta{T}·\lambda_1\right)-\left(L_2·\Delta{T}·\lambda_2\right) = \Delta{l}$

$\small \left(L_1·(T_2-T_1)·\lambda_1\right)-\left(L_2·(T_2-T_1)·\lambda_2\right) = \Delta{l}$

$\small \left(2750·(T_2-(-15))·29·10^{-6}\right)-\left(2750·(T_2-(-15))·12·10^{-6}\right) = 2$

$\small \left(2750·(T_2+15)·29·10^{-6}\right)-\left(2750·(T_2+15)·12·10^{-6}\right) = 2$

$\small \left((2750T_2+41250)·29·10^{-6}\right)-\left((2750T_2+41250)·12·10^{-6}\right) = 2$

$\small \left(0,07975T_2+1,19625\right)-\left(0,033T_2+0,495\right) = 2$

$\small 0,07975T_2+1,19625-0,033T_2-0,495 = 2$

$\small 0,04675T_2+0,70125 = 2$

$\small 0,04675T_2 = 2-0,70125$

$\small 0,04675T_2 = 1,29875$

$\small T_2 = \dfrac{1,29875}{0,04675}$

$\small T_2 = 27,78$

$\small \text{per cui ricapitolando:}$

$\small\text{temperatura iniziale: } T_1= -15°C;$

$\small\text{temperatura finale: } T_2= 27,78\,°C;$

$\small \text{incremento della temperatura: } \Delta{T}= T_2-T_1 = 27,78-(-15) = 27,78+15 = 42,78\,°C.$