Teorema di de L'Hospital

y = x·LN(3·x + 1)/SIN(x)^2

LIM(x·LN(3·x + 1)/SIN(x)^2=  (0/0)

x----> 0

FORMA INDETERMINATA

N(x) =x·LN(3·x + 1)

D(x)=SIN(x)^2

N'(x)=LN(3·x + 1) + 3·x/(3·x + 1)

D'(x)=2·SIN(x)·COS(x)

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Ancora forma indeterminata (0/0) per x--->0 del rapporto ottenuto

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N''(x)= 3·(3·x + 2)/(3·x + 1)^2

D''(x)=4·COS(x)^2 - 2

Quindi:

3·(3·x + 2)/(3·x + 1)^2/(4·COS(x)^2 - 2)=

=3·(3·x + 2)/(2·(3·x + 1)^2·(2·COS(x)^2 - 1))

Forma limite per x--->0: (6/(2*1^2(2*1^2-1)))=(6/2)=3

che è il risultato del limite:

LIM(x·LN(3·x + 1)/SIN(x)^2) = 3

x---> 0

y = x ln(3 x + 1)/(sin x)^2;

lim (per x----> 0)[x ln(3x + 1)/(sin x)^2 = 

= lim (per x----> 0)[0 * ln(0 + 1)/(sin 0)^2 =(0/0); forma indeterminata;

f(x) = x ln(3 x + 1)

f'(x) = 1 * ln(3 x + 1) + x * 3 /[3 x + 1] = ln(3 x + 1) + 3x /[3 x + 1];

g(x) = (sin x)^2;

g'(x) = 2 (sin x) * (cos x) = sin(2x); formula di duplicazione

lim (per x----> 0) [ln(3 x + 1) + 3x /(3 x + 1)] / [2 (sin x) * (cos x)] =

= [ln 1 + 0/1] /[0] = 0/0;

sin(2x) = 2 (sin x) * (cos x)

g'(x) = sin(2x); 

deriviamo ancora;

f''(x) = 3/(3x + 1) + [3 * (3x + 1) - 6 x] / (3 x + 1)^2;

g''(x) = cos(2x) * 2

lim (per x----> 0) f''(x)  = 3 + [3 * 1 - 6 * 0] / 1] = 6;

lim (per x----> 0) g''(x) = 1 * 2 = 2;

lim (per x----> 0) f''(x) / g''(x) = 6/2 = 3.

ciao @alby