Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1-x}{e^x-2-e^{-x}}$
Sostituendo $0$ vediamo che abbiamo una forma indeterminata $\frac{0}{0}$, quindi possiamo applicare il teorema di De L'Hôpital:
$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{e^x-e^{-x}}$
Ora poniamo $t=e^x$, da cui $e^{-x} = \frac{1}{t}$. Notiamo inoltre che per $x \to 0$ abbiamo $t=e^x \to 1$ quindi abbiamo:
$\lim_{t \to 1} \dfrac{t-1}{t-\frac{1}{t}} = \lim_{t \to 1} (t-1) \frac{1}{(t+1)(t-1)}=\lim_{t \to 1} \frac{1}{t+1}=\frac{1}{2}$.
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Livello 3
LIM((e^x - 1 - x)/(e^x - 2 + e^(-x))) = (0/0)
x----> 0
Il limite ha forma indeterminata:
N(0)= e^0-1-0=0
D(0)=e^0-2+e^0=0
Quindi applichiamo De L'Hopital:
N'=e^x - 1
D'=e^x - e^(-x)
Forma ancora indeterminata!
N''(x)=e^x---> N''(0)=1
D''(x)= e^x + e^(-x)-----> N''(0)=2
Pertanto il limite vale:
LIM((e^x - 1 - x)/(e^x - 2 + e^(-x))) = 1/2
x----> 0
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Genius III