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Livello 2
Problema:
Si risolva il seguente limite:
$\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{x-\tan x}{x²\sin x})$
Soluzione:
Poiché sostituendo la variabile con il valore 0 si ottiene la forma indetermina $\frac{0}{0}$ e poiché le derivate di entrambe le funzioni del numeratore e del denominatore esistono, è possibile applicare il teorema di de l'Hôpital.
$\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{x-\tan x}{x²\sin x})=\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1-\sec² x}{3x²})=\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{\frac{-2\sin x}{\cos³ x}}{6x})=\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{-2 x}{6x \cos³ x})=\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{-2}{6})=-\frac{1}{3}$
Nota: è stata utilizzata anche la seguente tendenza asintotica: $ε(x) \rightarrow 0$, $\sin ε(x)$ ~ $ε(x)$
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Livello 6