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Livello 2
Problema:
Si risolva il seguente limite:
$\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{x-\sin x}{x-x\cos x})$
Soluzione:
Poiché sostituendo la variabile con il valore 0 si ottiene la forma indetermina $\frac{0}{0}$ e poiché le derivate di entrambe le funzioni del numeratore e del denominatore esistono, è possibile applicare il teorema di de l'Hôpital.
$\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{x-\sin x}{x-x\cos x})=\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{2(x-\sin x)}{x³})=\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{x²}{3x²})=\frac{1}{3}$.
Nota: è stata utilizzata anche la seguente tendenza asintotica: $ε(x) \rightarrow 0$, $1-\cos ε(x)$ ~ $\frac{ε²(x)}{2}$
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Livello 6