Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Forma indeterminata del tipo 0º.
L'errore sta nell'aver applicato de l'Hôpital ad una forma non prevista dalle ipotesi.
Ecco come l'avrei fatto
Applichiamo l'identità logaritmica
= $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} e^{2xln(x^2)} = $ L'esponenziale è una funzione continua, possiamo calcolare, a parte, il limite dell'esponente
= $ e^{\displaystyle\lim_{x \to 0^+}(2xln(x^2)) }= $ (*)
limite dell'esponente
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+}(2xln(x^2)) = $ forma indeterminata del tipo 0*∞
Riscriviamola nella forma ∞/∞
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{ln(x^2)}{\frac{1}{2x}} $
Applichiamo de l'Hôpital
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{2x}{x^2 \cdot\frac{-1}{2x^2}} = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} 4x = 0 $
Per il teorema di de l'Hôpital possiamo concludere che il limite dell'esponente vale 0, per cui
(*)$ = e^0 = 1$
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Livello 6