Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Ipotesi del teorema di Cauchy
i) f(x), g(x) continue in [a, b] O.K.
ii) f(x), g(x) derivabili in (a, b) O.K.
iii) g'(x) ≠ 0 per ogni x∈(a, b) O.K.
allora $ \exists c \in (a, b) \; t.\, c. \; \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$.
Dimostriamo che se vale l'ipotesi iii) g'(x) ≠ 0 per ogni x∈(a, b) allora g(b) ≠ g(a).
Supponiamo per assurdo che g(b) = g(a).
Unitamente alle ipotesi i) e ii) ci permette di affermare che vale il teorema di Rolle.
Tale teorema afferma che esiste almeno un punto c∈(a, b) t. c. g'(c) = 0 e questo contraddice l'ipotesi iii).
Conclusione. L'ipotesi g(b) ≠ g(a) è superflua.
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Livello 6