[Risolto] Teorema del confronto

1)

Come suggerito dal libro, ricorda che

$-1 \leq cos x \leq 1$

dato che vogliamo arrivare alla stessa espressione del limite, dividiamo ogni membro dell'equazione per x:

$\frac{-1}{x} \leq \frac{cos x}{x} \leq \frac{1}{x}$

In teoria dovremmo stare attenti nel fare questa divisione, perché se dividiamo per un numero negativo, i versi della disequazione cambiano. Dato che in questo caso vogliamo far tendere x a $+\infty$, possiamo tranquillamente immaginare x come un numero positivo molto grande, che quindi non ci dà problemi nel verso della disequazione.

Facciamo tendere ora $x \rightarrow +\infty$.

Poiché

$lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{-1}{x} = lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x} = 0$

dal teorema del confronto concludiamo che anche

$lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{cos x}{x} = 0$

2) 

Procediamo in maniera analoga a quanto fatto prima. Anche qui sappiamo che

$-1 \leq sin x \leq 1$

Ma stavolta abbiamo un valore assoluto. Possiamo però dire che, essendo il valore assoluto positivo, possiamo restringerci a:

$0 \leq |sin x| \leq 1$

Anche qui dividiamo tutto per x (che come prima sarà certamente positivo):

$\frac{0}{x} \leq |\frac{sin x}{x}| \leq \frac{1}{x}$

e cioé

$0 \leq |\frac{sin x}{x}| \leq \frac{1}{x}$

Di nuovo, facendo tendere ${x\rightarrow +\infty}$ abbiamo che:

$lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = lim_{x\rightarrow +\infty} 0 = 0$

e dunque anche:

$lim_{x\rightarrow +\infty}|\frac{sin x}{x}| = 0$

Noemi