Dimostra che, se $f(x)$ e $g(x)$, definite nello stesso dominio, sono tali che $|f(x)| \leq|g(x)|$ e $\lim _{x \rightarrow c} g(x)=0$,
allora $\lim _{x \rightarrow c} f(x)=0$.
Applica il risultato per dimostrare che $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}=0$.
333
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Livello 1
Per ipotesi
$|f(x)| \leq |g(x)|$
che possiamo riscrivere come:
$ -|g(x)| \leq f(x) \leq |g(x)|$
Poiché
$lim_{x\rightarrow c} g(x) = 0$
tenendo conto che anche in valore assoluto il risultato rimane 0, possiamo sfruttare il teorema del confronto, per cui si avrà che:
$lim_{x\rightarrow c} f(x) = 0$
Applichiamo questo risultato considerando che:
$ |sin x| \leq 1$
Dividiamo tutto per $|x|$ (il valore assoluto ci serve perché per mantenere inalterati i versi della disequazione, dobbiamo dividere per un valore positivo):
$ |\frac{sin x}{x}| \leq |\frac{1}{x}|$
Stiamo quindi interpretando f(x)=sinx /x e f(x)=1/x.
Poiché
$lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = 0$
dalla dimostrazione precedente otteniamo che:
$lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{sinx}{x} = 0$
Noemi
10479
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Livello 6
@n_f grazie Noemi!
