[Risolto] Tangenza

@giuliaaassss

Ciao . Svolgo sino alla retta tangente comune ad entrambe le parabole:

y = x^2 + 1-----> y' =dy/dx=2·x

y = x^2 - 8·x + 9------> y' = 2·x - 8

Retta tangente alla prima parabola in un suo qualsiasi punto [α, α^2 + 1]

y - (α^2 + 1) = 2·α·(x - α)----> y = 2·α·x - α^2 + 1

Retta tangente alla seconda parabola in un suo qualsiasi punto [β, β^2 - 8·β + 9]

y - (β^2 - 8·β + 9) = (2·β - 8)·(x - β)

quindi: y = 2·x·(β - 4) - β^2 + 9

Siccome la retta tangente t è la stessa, deve essere:

{2·α = 2·(β - 4)

{1 - α^2 = 9 - β^2

quindi: α = β - 4

1 - (β - 4)^2 = 9 - β^2----> - β^2 + 8·β - 15 = 9 - β^2

si ottiene: β = 3

quindi: α = 3 - 4----> α = -1

retta tangente t comune: y = 2·(-1)·x - (-1)^2 + 1

y = - 2·x

Per verifica: 

y = 2·x·(3 - 4) - 3^2 + 9----> y = - 2·x

L'area richiesta la valuti con integrali definiti:

Dovresti ottenere : A=8/3 + 8/3 = 16/3 (colorata in giallo)

 

Calcoli relativi area richiesta.

Punto A

{y = x^2 + 1

{y = - 2·x

risolvo: [x = -1 ∧ y = 2]

Punto B

{y = x^2 - 8·x + 9

{y = - 2·x

risolvo: [x = 3 ∧ y = -6]

Punto C

{y = x^2 + 1

{y = x^2 - 8·x + 9

risolvo: [x = 1 ∧ y = 2]

Integrali:

x^2 + 1 - (- 2·x )= x^2 + 2·x + 1

∫(x^2 + 2·x + 1)dx=x^3/3 + x^2 + x

1^3/3 + 1^2 + 1=7/3

(-1)^3/3 + (-1)^2 + -1 = - 1/3

7/3 - (- 1/3) = 8/3

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x^2 - 8·x + 9 - (- 2·x) = x^2 - 6·x + 9

∫(x^2 - 6·x + 9)dx =x^3/3 - 3·x^2 + 9·x

3^3/3 - 3·3^2 + 9·3= 9

1^3/3 - 3·1^2 + 9·1= 19/3

9 - 19/3 = 8/3

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8/3 + 8/3 = 16/3