Successioni monotone

Problema:

Rispondere vero o falso alle seguenti affermazioni.

a. Se le successioni $(a_n)$ e $(b_n)$ divergono positivamente, allora $\lim_{n \to \infty} (a_n+b_n)=+\infty$

b.Se $\lim_{n \to \infty} a_n=+∞$, allora $\lim_{n \to \infty} a_n(-1)^n=+∞$

c. Il prodotto di due successioni convergenti è una successione convergente

d. Se la successione $(a_n)$ diverge negativamente e $\lim_{n \to \infty} b_n=4$, allora $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=+∞$

Soluzione:

Nota: la risposta data è di livello liceale dato che dal layout sembra che il manuale sia rivolto a studenti delle scuole superiori.

a. Vero. Se entrambe le successioni $a_n$ e $b_n$ divergono positivamente, significa che  $\forall M > 0 \ \ \exists N_1: \forall n \geq N_1,  \ \ a_n > \frac{M}{2}$ e un intero $N_2$ tale che per ogni $n \geq N_2$, $b_n > \frac{M}{2}$. Per $N = \max(N_1, N_2)$, si ha che per ogni $n \geq N$:
\[
a_n + b_n > \frac{M}{2} + \frac{M}{2} = M.
\]
Pertanto, $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = +\infty$.

b. Falso, dato che $(-1)^n$ è alternante. 

c. Vero. Siano $a_n \to L$ e $b_n \to M$ per $n \to \infty$, con $L$ e $M$ numeri reali. Allora il prodotto $a_n b_n$ convergerà a $LM$:
\[
\lim_{n \to \infty} a_n b_n = \left( \lim_{n \to \infty} a_n \right) \left( \lim_{n \to \infty} b_n \right) = L \cdot M.
\]
Questo è un risultato ben noto della teoria delle successioni.

d. Falso, perché il rapporto tra una quantità positiva e una negativa è negativo.